随机赛程的最佳策略

引言
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在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题
7 @+ C0 A$ ?/ b# ?
  ]& M( F" Y+ j) v6 Q; l& J, y
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

% d0 ~* E1 ^+ L  L1 Z+ I6 n: J当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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本文
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% P# a; `+ A. R. ?* h) p1 {问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
: A+ g2 ]. M: K3 C: q: U' D; d
* k5 e' P' G% {+ X+ F( _0 t为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
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6 ]6 S9 a* h/ B, }; D/ o方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
8 s7 b- x& E  ^5 a0 s& G# m方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

/ I- z! k7 V) d2 @# A3 N# |首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
$ L* y8 N; w6 A) G
++,
+-++,-+++,
6 c0 X7 [4 s4 g7 G: z+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
  V' }' R( }8 z" g2 y- @                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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4 q' e5 t) t; m0 H3 E  q. R: g7 ?
! N4 K1 U( ~! H, f% f. A
  P) x( {/ K# N
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现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
$ R. J6 \1 k% l, Q: l# e-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
& H3 c  ]; J  G-+-+++,-+-++-+,
$ R5 T' O. Z7 y+ ], W: q                                 
, ,
6 Z+ h" @% b$ t  w' ^3 Z+ x                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
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& _/ g' s, [2 A2 C& d( k
4 \4 {" S' v$ h" ]
& [& f: X! i: d0 O( I! J$ j, z

" z6 m& R( e+ Z2 P2 S
# d7 g/ G/ w$ S+ |; C' K最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

; Y6 j: D( y+ `0 }" J: |- m, h现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
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现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
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7 @8 l$ n; i  {8 d) J情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
3 H. q" ]( }) I. g: [  D5 b, F& W$ _
$ s; F8 Z6 C6 L情况二：  
" \8 Q$ l) `& f; g此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
- y) i  f3 q4 W3 b1 t5 \
) |0 [3 q( s# h( M, R) f" ?% m3 e& G情况三：
# y; @. q* Z' @6 I5 S2 @此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
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由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
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如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

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情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
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& m9 V( y, a# y" u- G7 Q
3 d5 T4 ^, G7 D0 U6 z& X) x# `
6 V7 h# m/ g& b' F, _+ t
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这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
. X! y7 j/ e! C: ]
情况二：  
- B( \$ u& Y; U" K: X令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
9 x; w% i- X9 k" }2 F/ i/ K



, T- B7 e0 V) P5 M6 @' e
8 ^) m* [0 B* f5 v( b
7 t4 v5 k5 T2 ]! O- B  t- ^这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
0 s5 q# z: a) V9 e! q8 r利用p+q=1，上组方程式可改写为
) j2 r6 @9 ^) }$ z8 b3 |# h
2 Y- N( D/ y/ m' {- n  z/ D! q

, a, Q+ [7 t& r8 S. }9 Z; E


两边相加，并利用 、，得






2 _6 m5 G6 L3 S0 n7 t若取前 c 项相加，则得
$ W1 l. ^6 ?8 @4 K+ h, k

0 y2 A: i$ a7 y4 C) v
  c  z5 H( h6 O: Y+ B' P

: g$ a9 ]4 E5 w- Z/ o. x) {
情况三：  
2 U0 Q" O3 s5 v! `, i! J仿二之解法，可求得

# f9 P( N8 h- `4 l3 Y


6 n6 d2 E/ O9 X4 P5 D% e8 _1 j
4 Z  S8 ?% }) @" s: `0 U% O( a$ v+ N: _
- j% _! c$ a0 N# q7 L& V7 u$ N! x
9 Z1 L" ~" C4 N+ Y1 v  p保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
3 W% z- K7 m  R8 ]. `: x! M& I0 K
3 J& {! {1 J5 k$ j* e( O首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
; f3 y) d, t$ M3 B6 d$ c$ A8 V此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

2 G! m* r! n; l( i7 Y首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
0 L6 g" h# k. X. n2 t% d' B. q
& s, y) ~6 L! v6 X# ]# m至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则

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: W1 V, G, T2 K, H' I

: R' V! ~4 k1 R& X2 _! `/ b其中  为所下注之金额。利用



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) m  D  [( [1 j. r2 E4 Q
* j; |, G5 v: R+ ]1 R! l# O可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
' u4 y3 L" z, a


$ n( [! f8 O' n6 `# B9 {- r% z: o5 Z, K

: H0 k0 H3 o& U" w- ~+ `( V  D

; c* P4 E  a1 |) f2 v
因此可得在情况二， 时，
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( P  H9 J- t+ S1 ^- w( E1 e, A


. j$ O7 ]- p# \1 S" z3 Q


) j0 A9 ]! h7 R* b: C而在情况三， 时，

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9 @6 l, B! X+ e, h5 L6 c


: \; ^* a9 M% B9 ^
7 W% A$ @: K- @6 |) K( O+ A但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
% {( E* H4 h, ^. Z
# E- X: B4 e4 Q, T! J附录

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6 c! y% N! O: Y5 t0 V; h/ B4 b在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
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* f& D* p" F9 Z7 j
1 N7 i3 R: U, G8 |4 ]% g+ e% D0 S

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+ f) a0 }5 ]; P5 _& V另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！