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引言
. p/ s1 i& x, q( }* o7 L+ U. ?0 `" Z1 v  I
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。 1 u. A! b( D6 P; i

* g* H7 z1 l- h$ I7 @. j/ X; E问题 . ~: c+ t$ R$ i
! w- y  }$ z& L* O
! d# ]& b& h" n! }! D- T0 _  @
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
. c8 G8 Z6 m# X% p
) j0 d0 e: |3 x1 b当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
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本文 6 f8 j' R$ I! J* ~+ [5 b
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问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 0 X, t7 Y$ n7 |1 V  `
8 N& L; j: L2 r: M
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 ! |  O! k/ G8 d1 M6 l
) y  T+ {& `( m" I, H; h# ]9 U/ g
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方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) ' f( ?8 i! C6 Q) ^4 e* F4 C- _
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
0 {) c5 j* W0 y& @  @$ I; A方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。)
) s6 m5 d- J$ |$ w* i你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 % ?) }7 p2 R- R' J
) O3 I/ [. S2 `+ ]! Q' {' Q) R' d
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。
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. [; L2 n$ C% @( y+-++,-+++,
, j  C+ b* }3 |9 \8 j+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
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在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
2 `7 p; q; d9 O# {! ^+ V" n0 p* G, w- ~, E, S! s! J: ]' p
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" @8 x! J( e/ w: i
" G! p; H1 f0 \% }0 E" V  L4 e3 V! w

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% C5 [0 ~5 ~/ K% K5 H) N" G# ~% E' g
6 n( p* K) Q/ m) v2 r0 R
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
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++,+-+, $ M$ `- c. L& H# s) n2 R# M) D/ k
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元)
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, , / y5 o* U+ b/ y
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: i% c% O0 _$ `2 J( Z
, D2 x$ N8 e8 s# H, r7 c7 P1 I仿上之计算,可得此时甲赢的机率为 ! z9 C% x% i) `9 x& d" l
; E' ?6 y- X2 u+ t

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) K% p# P% b8 \' Q9 z5 ^7 f
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( c5 A7 C" ^' |) b  x, f: S# [5 |* B5 b& C* c! H
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9 p+ T7 Q5 U* k最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 % o9 n* L7 ~5 p  A# C& K  K, M9 x

7 ]' c0 R; V6 g( n: W/ f现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 / I3 h$ B  G* e. c. i8 ~3 K

; z; j* D2 ]4 V- [, `& I1 ^这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
% G1 d, m9 B6 H2 v2 p. g: g% e: }' N4 W8 Q0 j1 v0 {- S; i  d
现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 + R4 L- x% a: b0 e  C( U; ]4 E) u' `

8 t' ]: D7 B; |3 e2 E' i  L- P5 T5 O; x0 r
情况一:  $ K; o3 c. c7 d8 S
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
6 z) V, M0 b- D. @: Z% e; N- T+ d' {) q/ h! Z0 Z7 A
情况二:  
5 O' F1 e/ |4 N& f- C- x+ s6 b此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
* _$ [6 _  W7 k, G1 n1 c9 b8 P
; N0 `" F' Z2 h) _情况三:
3 V, {2 g5 ]( s+ G& _. X此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
/ R% X0 _, B+ J' r1 T0 J: b) W+ \
. r9 {4 z* W/ k7 Q( i; v- l现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。 0 x7 E/ P) G1 X. P5 F' B! t
" @, L5 ?! }- b  x% F
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。
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2 C4 ]+ r' t# @) l8 u8 `如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。 % i2 e: [' Z; O% l5 u* s8 r- m

8 a1 \. H* |+ ]& [5 Q; f0 H
9 Z* U$ {& M" r1 w/ i- T* _情况一:    r  @( l4 _# o; o3 ?4 S) Q
假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此 - z$ x1 |0 v( u( w! B. }
! c: g7 e( l+ g$ Y& \6 A# {. G' q
2 u. [: O9 q/ V" g" P
9 _6 B8 I9 r0 k( z" T  x9 ~: H
8 h( @8 n3 L# F5 C& m+ J

5 w3 j9 U( q6 o! V* n0 H! q3 M3 F5 _2 E4 ~1 g4 o
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。 ! Z. i+ c: Y% N1 J( F( w3 q
: t& b3 Z, N) M% |5 R  n
情况二:  . d1 k" q& m  S: A
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 ( V6 `+ J7 A, b7 V  f, Y

2 Z6 y' Y: e# u" S- T- N( d: ?, g; I0 m# O) x! h# D
2 _' Y2 \' S7 Z* X. k

; [. z+ y" ?  ~/ @. l/ e9 _4 t) l# s$ e
6 V# H$ {* F5 `# v" K4 c+ q
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 7 Y& o  H! H" o0 |0 i! Z
利用p+q=1,上组方程式可改写为
" {' |# E4 {* e: J9 u( j
: r: S8 n$ Y$ S
9 o/ o, G, s) V
6 d# d6 J9 A+ A& u4 H* ^, z3 T$ v# W% U0 |$ O4 T
) Y* {0 y1 [5 G
9 C, ], x: S& x# D" x
两边相加,并利用 、,得
3 o, N" V: r" J9 X% y2 }( ?+ B2 w) e+ f
8 @; p0 z& q+ E% E0 n) {6 e) N$ o! W
$ C8 A+ Q, ~. ]0 \; @1 X
6 [) f: ]: e1 x, J) L# @

* H7 x* e1 ~* {* ^& _* S  q6 V
8 d) z9 D6 P6 E$ C, J' T1 ]  z9 X若取前 c 项相加,则得 7 z/ U5 @4 Y, }& L' `8 Q! y
/ k9 p( f/ [+ }6 O2 T5 W
( P! \% M" U7 z2 G3 F7 i9 z
  N. j2 q6 s, W3 C0 |" P$ Q
( L* R" Y8 N1 G+ U: M
5 y; Z: f# s2 N% Y4 L+ c4 J
, p3 K2 V  @0 Y( Q4 A) w1 S& J
情况三:  
% |& w/ O- s( V仿二之解法,可求得
+ y8 B. z8 R) g. i& T5 a
8 w3 @$ n$ f' f7 B; @8 V
+ i0 w( E/ h3 G" E, |0 c; j2 f' [8 x' _) H) s. A

" ]5 p/ z0 i4 a; B, t& S, l( {1 K' v

$ u9 Y4 p; O1 m: _" e' }
' X- ^8 I* M4 O) w. P保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。 # h( k- }* W3 P. N5 H2 \0 ]5 A

' C: F6 e- s  F9 F' Z. ^- r首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
7 [2 i+ g% ^0 C) X: e4 x3 y4 M8 B6 P+ ]- R( U2 ^

2 ?( T6 ?, L% y: |! \4 u定理: # ^1 l0 H) }0 n" E6 z+ ]
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
1 g7 U- G& K- d此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
( c" z: l8 Y$ L  i5 K3 U( ^5 |- o5 m% T3 L  l
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 7 g* j- t8 q9 h3 Y

  X- Z9 k, A9 g3 Y& d首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
( y0 V) R( k* Z! Q
- F- l, b( m$ b( ?/ B8 t! P9 N* C/ U至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则 $ b3 u- t3 w- U5 h3 E2 n# R
+ N% W0 s0 {5 G4 n' E

, b. A0 s& h. K" b( y( C! Q
8 e; ]  z( f! ?0 n4 Q
) r$ W1 E" ]! _- R
0 S* k0 V# `0 ?$ M- ?3 Y* l
5 z9 k% g. @: ^, r& D  q
' L! h+ Y8 @+ K& m
. g0 Q$ J6 A9 _其中  为所下注之金额。利用
) x6 p1 U4 N: G. P. W! h% n
$ T' \8 Q3 a  |& y5 D2 Y( D6 J4 E* l9 ~
+ a- G1 E4 y2 y* [7 ~1 H

( l) \9 g4 p6 V$ l( z
5 K: ~8 G/ P' V1 j9 H; W& Y
# O  p6 H  t& R- l1 f" _' c8 f
4 r  e+ Z/ ~4 m: ]3 t4 V& f. f6 T
2 T# [& c: c/ l* z" H, E; l+ }* ^可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 ( @1 T9 t! R+ E* [/ D8 \1 m0 e

, n2 `& d: N- s; }2 E( F7 K' e, f& f( A

/ B" {$ V2 g' h
7 y! p. P; q5 U" |: ]6 y- s
- m  i8 l( P" q2 S" K3 I" _
: M) A3 E$ ]5 Q6 g+ |# D/ T/ g$ a, o/ _: [  J2 a# k' v9 r' L
/ Z1 l% ~. X6 \  ?& Z) S  Q
因此可得在情况二, 时,
, {6 f" K% P5 D, Z
. {( f  @7 a( c% V4 u) W# i0 M/ U# Q7 n9 ]3 S

. |  u' z+ O0 z* \" d1 ~8 g' |: X. d, ?9 b, h  g# T7 [8 M( I

" w2 o- I- {& l1 o# L. f7 v2 \- |
* Z0 x! e$ I0 C" O+ z5 H- q2 T+ b) r
" X# y  x9 `6 a& {/ X$ I6 U' D
, X  Q3 _3 [) h而在情况三, 时, / J: C6 a' P: R( H/ g& _$ m- ]
. f( _  O$ O# v; K$ ]1 b  S

# |0 ]  t  T2 X# v( [3 p
+ W2 ~% y5 n. A$ y$ m6 m5 d) h+ \3 G8 N5 ~% e0 |$ o4 _7 l
/ k2 u3 W' O# J" o5 i  _
  u& K# j* g) {$ @1 p
$ ~" J3 s+ E$ t

/ t; v4 K& H' K) E" _& c( {) ^( y但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。 ( l2 X' A: N1 }, h6 u1 u3 j
  [7 t" @& k' O) ?8 {! v$ Y
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 & I  Y) Q5 R* D# U' d& t
- ^* i$ _! P. f& u. N8 l: X0 w# E
附录 % |& Y6 n9 k- \8 w( e5 p$ J. ]
. ~" f7 `1 G7 z, v5 }; m$ b0 O

+ @( k4 F4 w# L  J. ~在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 7 R6 p0 z- B" J% e

3 I8 o7 j5 \) V7 d' y( u
# I. D1 D  A- b" s
8 h8 K$ n( V0 v# m' V( D! M
3 V* ^' c) [4 E0 p. Q9 T! n' e/ I5 O2 A: J7 Z3 K: X
- E. d2 E9 I: Q9 k. s, @

: {. t3 i3 d2 u  w! P* ~+ `$ G
  ~2 R# I+ T3 }6 i6 C( H另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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