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引言
  c; Z0 r$ X1 T- j3 x
, |/ Y7 b: U" O在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。 . ]: [9 W4 T# l

. v6 o' a& {' G: {% b问题 9 }! ^2 ?! b' ^! S" `/ j

) g$ z4 v) ~2 N5 J2 g0 R5 H9 R
; Z0 [5 W" U, ]# v有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢? 3 N' i8 L: r& @  l! k
- m5 p: z% b( S9 a; k0 H0 F% \+ G
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 5 U9 ]7 R, ^# v/ `0 x, w6 E+ F! F, Q

- J  s* T- y2 i2 q6 l本文
  V2 W; A% q% s- a# J( V$ l# s9 S5 y

- A( M+ B" O5 k- q8 ~( f$ ?! |* k问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
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/ \# e) X, W% o9 _1 u# N' d为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。
6 g; l9 v" {+ t4 W+ O# A: `' Q$ L1 E! ?+ u( V* p  t9 n& H( ~- M

& u/ }# [$ H1 F2 O+ ?  G% |* E3 a方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。)
1 Y: b6 x& A% F方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。)
2 a. ^9 p# w9 k6 D) ?3 W# J& X方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。) 9 E7 r2 r" X% \6 I
你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
% f2 }. ~" A5 C8 ^/ G( k0 S0 j6 A5 ^# e, A% A" n, X
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 $ d- ~3 U% Y- o  p/ [# F
3 H! c1 @/ \& R0 t/ R* S9 F
++,
9 j* D, {: e+ t/ z" J+-++,-+++, $ a  U# K. t9 d( @+ h* X
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
# |' n; A+ H0 y2 l8 {5 W; r, ^                                                                                                。 " T7 h7 ~% j2 w5 I. ^+ ]
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
3 q. W& C4 l% \- b6 R9 Q" `
: T9 Z' A, G3 p5 B3 d+ T6 q/ ]0 ]; w% A/ Q- z! K% S
8 Q  i  f& b5 n& C4 V, O' _1 v0 ~. p
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' [# x# E5 l; G  n! ]+ {/ Z3 B1 C
  b6 [+ v4 Q% ~4 \( l3 q" r. G& j6 j9 c
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8 L2 k6 G/ \7 E& c9 D: H/ B现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。 # K" O# U6 S/ R. N4 J( [
' @6 j8 O& W5 R
++,+-+, 5 v9 u3 D6 W: o5 w! h/ L' g3 t
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元) " C& Q: v. m1 P/ Z9 T; q- a
-+-+++,-+-++-+,
5 T0 I8 O3 k& C                                 
) k1 I- j( d- s! T, , 9 ^  ~7 G1 m  A! ]* C- l4 P
                                                                                。 , {( f2 r+ ]; I' j& D3 L8 ?' M: `

0 ~0 ]) v( j2 J7 g# j: u. D仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
, p6 b' ^. s, {
9 ?1 ~7 z% G* Q3 e( g1 M+ ^) j$ [- K- [2 L
1 D: ?6 g- V) H1 {

* V- ?; Z# b+ P- [
- O7 G1 E( _: ^1 H
) o% V$ s; X* |% Y) D6 |2 t- c6 Z4 m8 D  F- P$ s1 F' E
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最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 0 D! H2 i1 |8 e4 B7 v2 C# V
+ G- _* H" m+ O& j7 }
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。
8 I$ Y! y0 A3 P8 a8 ~7 N+ V2 U3 K; q/ b  t
这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? ' B9 Y9 t) C  F" L5 z: Z; `/ T3 y
" r: Z% |6 _& C% M+ T
现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 " ?  V: m! F0 k) t

+ G, M8 ?( M# m! ^- q# O$ A+ u  {% y' }
情况一:  
3 {( N0 D8 t+ X% Y此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。
6 p, p- B4 t  A$ O6 S5 V! z
8 f, t4 L  |5 e情况二:  0 a" y% E+ ?3 G& r
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
5 o4 g& d0 |. `. ~
6 H* H. B& Q3 a情况三: ' q& G" Y. k9 @+ H
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。 : {: G7 A" w- F# k

' j! B; c8 y' k7 D: w现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。 * R; ]" B9 X$ L( I5 U

0 {8 d7 f! j8 V$ o由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 + T0 {  h3 o. z4 [. L% n
+ m$ e9 u2 H1 h& _. G& |
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
* w3 w6 x5 p; m) W+ E7 @! X
2 ~! i6 k6 t0 ]. m5 F" E) r  t+ E7 _9 |
情况一:  - J- d7 |$ {; ]1 J7 Q6 R
假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
8 l- \4 e, r- @& M  h' f- V- v  N5 ?7 [  m

: n& a4 }: v' ]. a- V1 ~* b
$ c; V% z& m! Z7 O  }) I- u7 o5 k+ K3 x: U4 E0 Q* Y' p

5 K+ o  o8 W) v0 i% }0 q$ P1 a6 k5 C2 N% `: \% V
这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
/ G4 ]% ~+ ^' m- `/ W" e4 t, r% F# D! I6 ]4 ~  ?
情况二:  ( H. D9 V% q) P0 ^1 i9 V* e& f
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 0 G, n- |; I9 i: N( `. X- J1 d

8 v' U6 o* {4 q& G- {6 y) M8 W
0 s8 f! f: }7 j, @9 p- `1 g$ p) S0 y( S7 g

! @; l2 J1 j3 D# L$ d" N% K7 U9 K' l8 ~" R+ @
& S! Z' V; ]! [" `8 Q
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 : e' g1 P" k9 v1 n& [3 n& m0 w
利用p+q=1,上组方程式可改写为
! w5 g9 g$ `( c' E4 T7 W
# ?; B5 @. n$ J: U- s' j- k7 x2 \3 ], W0 r

) f4 _' l; R; B4 R9 ?) g" C& x! v5 ?! p9 _
9 u+ h# O5 t. G. u7 r  B) S

' |+ h, H- i8 n, `: M3 d两边相加,并利用 、,得 - J3 L6 C& W. E4 G, O' d. z
- K8 K: `, d5 j: c& A0 Q0 p, j0 F% j

6 o- N& C8 l# E
7 X: i' l* L9 `$ m2 A) L# w" S9 D7 v* f% U2 a$ x8 U2 f; k; m

% e5 x% b( p9 W- N; \0 E7 _3 @
: t; `. l/ v9 j! `若取前 c 项相加,则得
$ A# ~0 T9 _; O/ C0 S7 n( ^. ?# r5 ]
! w, E+ ~  H/ e, G
4 l  I& L4 ?. D" a) U
8 |& y" x9 Z% }6 {3 X9 g

6 ?2 d, j4 p7 q3 a& K  I( n0 _. ?  M* D& {+ @
情况三:  
& M2 ?8 s0 `# I( l/ t: N8 e. Q# S仿二之解法,可求得 # C3 \- g3 h7 j. C

9 f1 b4 K$ ~- l( n2 A" b* L5 h& A& {) A3 A( L* Z4 ^; i

' a) A& ]' g6 K" s2 E& W$ B  I* V$ K+ I

) o- g6 z2 L* {
& s8 k4 s0 t, n0 P6 g0 \/ l1 z/ U& Z! u3 y/ w
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
; B( \8 [& m- g; T# ?( a$ Z- o2 J5 n5 M
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 ( i# e8 E1 t/ z4 n. r

8 w" q% G# l+ G1 X' R
, Y: b- c  G% ]定理:
% h, E  @* j  e- y( g: k- y设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。 1 t1 i. }. c6 I8 b
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。 8 m9 _& k  D4 d: }+ o( h0 [

. j. r! @; @9 g( ?9 c现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
- i. D4 t6 Z" h; B! `; A
$ ?0 n, X7 `. ~" A首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。 7 F* T' }  C; D% b4 L3 d
+ z5 M5 _. `/ ~0 P7 g$ \. I) z8 i+ Q
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则 4 p4 D6 f3 Q" M: [9 ~0 a% @
' t5 i# b' g* P2 r* y
1 P) v1 c$ v/ N' E$ w  Y3 |. z
* q; r- M  Q2 |. A3 ^

! p1 P* x, M1 Q+ W/ t% I
  r/ I( f( [9 k
7 a8 C. y" r- s2 R0 i- H  [# v" V, ~( P) L+ n) b2 N- j

1 r1 k# ~! z* Z) X: H其中  为所下注之金额。利用 - n( ]- R- N/ a9 `2 u4 D
0 k& k. f' G6 }/ h5 A# D
! z8 B# w6 \8 |* R; k

3 z3 j' `6 y2 h0 I
7 F2 l5 a1 u# h6 n( z  F
7 U+ w$ R; B  i* U0 H! F8 G: `- Q7 \/ f9 ]' j
' U: `; Q, ~6 D& U  t) L
& H; U2 U7 M( c. \: I7 @! o% r" v* }9 H  ^
可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但
* B% r. q# n# L6 X2 m' @; @$ ^6 P  ?0 D9 L9 u8 q) l1 J

; o* E0 U' C5 K% `- W1 _3 u
8 E. U  J! n9 x, \" v/ T
9 `3 E: K2 R1 c) M, a' m( ^) H- U/ o, }4 w3 `- b& E

, E  L6 ~8 R/ v. z; Z% \. Z8 B
$ G& D7 l* v. I1 \+ p: i# ]. N) r& C  ?" E  `7 [2 h  @. w- G
因此可得在情况二, 时,
" ]# g8 N; B0 K: i/ D/ m+ {8 I8 i+ i' M* X& u; @+ i8 z) P
# d  Y4 i+ }+ }! c
0 N: o# C4 H2 R' C0 ~

2 K4 b! P' C! ^0 I  M
9 }2 A+ K& M8 i5 \8 g
# N0 R. A# Z& U+ t* G3 ?. j% |2 |) E$ |; ]

- P' r: N( ~" s. U& t而在情况三, 时,
# [0 H! r: v+ [4 `9 ?7 N
; u6 Z, A* Z: Z" ?3 y( X1 q- e2 u- m/ Z* w" [2 _9 c
% ^- q2 F: u$ R/ u

0 f& h6 O. q$ [1 N1 s
& T7 A3 ^& K0 ~/ s8 X- H/ J9 [, B9 L( ^

2 b% i9 N2 }, N$ R3 j- \: ~. ?* q; F
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。 & V# @2 n+ D+ w& Y
: R  V5 ^4 B% I( M
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 ) Z! A& A/ B! M, g

: ^  l6 h! c' U# Y% K7 @附录
/ v0 U# A6 s1 x
& z3 @1 q3 r- I; d# ]  P4 B( U) R2 G. ^
在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 , r7 K$ R6 [# g( K

& \  `4 ]; R" q* `# Q, {  p, f- |5 z& |  e( q/ T- T4 \" |* y

1 B; Q9 n! _2 J; m
' U- h8 Y/ x0 o1 e2 {0 a  M: e
. f+ t( l5 B- c4 b
$ X" Y4 n6 V2 C- a
: A# u, C) Y5 K  W5 u
2 d! g  @+ @. j4 c- U另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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