随机赛程的最佳策略

引言
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) n, v* F, V+ j+ @* q! j在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
5 p! c4 S" J; N
# n; Q9 I# h% E. o问题
  c! o% U' Q4 c  _4 m& [
# j1 g1 h7 {8 o
有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
1 {) A3 h1 s8 W9 y5 a$ Z) O. B/ U
6 g) X+ W+ W' h$ s- U7 X  x* N当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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4 B4 q" M: Z8 f! l0 Y6 X3 w# I本文
3 z# z9 C! K5 }  o

, @  g" j# S0 R2 f4 m/ l问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。

: y5 L9 A5 x( J4 B# _5 n+ S: c8 [
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
  z, O, L7 p9 K) |( _1 x0 K方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
: g* P- \' h0 t' J# Q" j
首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
$ \# Y, ~3 i; v8 e. f0 Y% s7 o
0 C- Y$ {' f4 v6 Y++,
# K* O2 j2 s$ V" \' B+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

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; N& ~1 \% n5 ]) X5 S

3 |) W0 m* k; [+ p0 S2 x: a
) i# O5 @4 q4 Q& }9 f5 Y
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
, F3 X4 E( ~; [& V4 j3 \-+-+++,-+-++-+,
                                 
9 X: J  D6 z- g0 @/ o4 c+ u* {3 s% l, ,
2 \: C9 }! f+ M/ H7 G4 G$ E                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
  L; C/ A; g$ P* [( X  N  O

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8 m' \5 A0 S0 F( U8 @6 e% w

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; M# O! o: q3 r- G; \' g, a  v( k, }& i* O4 @最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
9 U+ E% Q2 A2 s
这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
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现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

7 M' D/ ]1 o* H# U) o; Z1 S* f
! @% o3 i9 }: B/ S; M. i, z情况一：  
1 b2 l  ?& k  `7 e# m! z) V此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
" ?8 G2 j4 d/ k/ p( g) j
: K! A! Z( u8 I* }情况三：
8 E, R5 _" E4 w/ ]' F此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

5 U! A4 m0 C* ~: {现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

6 h7 |6 l7 e: J由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
: A  n4 M0 L1 s" [: ?# ~3 l5 v

% b/ A5 n7 D0 h7 U$ @; k* z情况一：  
) e4 D8 k0 d8 y假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此


+ \% p2 _( p0 n
. m# L% A6 {8 ^" i6 C! k9 F


这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

' }% d6 a5 r; S. M情况二：  
" N  j. V* X' i) E- {令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
! y+ Q4 J# p0 D; Q





这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为
% A, o  z9 Q0 n, Q( K  O


7 f) v4 W" Z) }' k2 |& O
: G. Z: s2 [4 N6 }

. t$ |9 p/ F9 D' K# g) c两边相加，并利用 、，得

5 x( Y# _3 U* }* `0 `! @: m6 `
3 l: l+ b" A% c, w* h, P

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, x8 O1 q& u( P+ N" a7 j0 I( i+ M
* v8 B. X; T) q( c9 F0 G4 {若取前 c 项相加，则得
4 n$ Y( o1 a. f& x
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8 Q9 b: a: G% z/ @
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1 i: W3 R+ v( ^6 a' g. T
0 B+ A4 L7 i' S8 ^/ z情况三：  
, u9 ^) `% f  T% S: X仿二之解法，可求得

3 f2 A8 f. }# S7 ^- k
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4 y4 L' j# I$ P
' [0 s" Y9 P" K, U: q8 E/ [+ r
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

2 _- ?' i5 m3 e# F5 [首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

" N# O/ Y) V5 k0 b' E) a" o* r
定理：
: i# A7 W4 c, m/ `. T$ t7 }设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
% I$ l& u( I& S1 L) l/ g此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
- e0 [6 J! o, U- ^) ?6 q
首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
  g, \6 h* G* a4 t3 E& T6 u3 C



2 L. `- _" P' P% c
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% ^' p( H7 C! A0 D& _* o4 A+ T+ n
+ J& T% n. l: U) u6 }" L4 H9 B其中  为所下注之金额。利用
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( G2 T; A9 V/ J0 P1 D) f6 V1 K
! |6 q, f8 J1 ]# ?# b可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但
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因此可得在情况二， 时，
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( v* F5 f$ \/ C1 v) [8 p( W% S$ e

8 p8 F6 {3 E& k0 D- G而在情况三， 时，


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5 ]! s% t$ g/ s) C1 m

4 b, f4 Y% }0 h# }
. l, y2 i4 t1 E9 Q$ f但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
6 q8 S  ^) p9 \
2 Z3 [, q  k/ p! k0 R* W$ W, X至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
- W2 Z: E9 [# N+ Q" k0 E6 O
; j# [; c: Z0 j2 I& S附录


$ F2 G: F0 ?4 C# j在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


1 H2 d1 H5 @- x9 f9 l2 {( \





另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！