随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题

+ r- q* m3 c; K2 Q9 p
7 C+ u4 }9 l8 z) x3 `4 [有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
: |: r2 g! y0 u. ~- N+ N1 o
4 h8 v0 Z) F, R0 r5 Y4 J当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

本文
  r0 E4 m& M  m: f

6 i9 R3 V. h$ a! G- b1 s% K( G问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
* B& p' `( t6 R: l
, J+ w2 T; v4 @  P% D* [9 X为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
4 \% P! f4 Z! G; W. S; D

方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
/ N1 j# V7 \1 J7 N  a- B# V/ s
++,
6 m7 f8 Y$ S4 P$ q9 W  y0 U+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
/ J5 ~' M, _( F' e


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) x# a  [7 y9 o/ Z) O; f) a

- b: \4 ^* W2 R2 K( ^


5 f: h0 u) x5 Y* d+ X& J! w现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
7 W+ K, {- B/ V8 n' S
++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
/ U+ r, ]( t: ]: f, v+ Y" {* L                                 
, ,
                                                                                。
1 W, x7 P* e1 x$ S4 Q" e
: T4 x+ k" E! h2 W仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
6 s! F- |7 D3 m0 u5 ^
4 J0 O: Q# z3 g: D1 J4 q
5 C! T+ }6 p3 ^- _8 ]$ j) {2 Q% E/ W

* a( m+ F' P, t6 Z6 z5 s& j


  {: ]( J" N. A" X! k
% I( i" F! a7 c- k: X最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
$ Y0 f$ r% n! `3 u% W, z4 A
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。
3 S8 M: P$ w% a% \- _6 r
- w& |4 ]# N- ~4 k- s这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

8 h% i5 R: y! g0 }! |5 s现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


. A) W6 M% r/ }* }- B情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

& c% z2 f2 A3 G& J, {情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

7 n" \0 s8 Y" b/ b5 ~9 [情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
$ R, l% p" G# \: W, l
! a' U/ r3 _, `& \' ?5 T) `* S: O现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
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由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


7 X, ]  `; |% H: a. E3 w4 k7 C情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
2 M$ S2 K2 Y2 \- t; N8 w; v+ ]
5 `$ {- t6 g: w$ d5 d2 p# L* V
' C7 e: ]5 m5 h1 K$ {0 J
/ J0 R7 J+ p5 p( \6 l! Q/ z" G
  F: ~) d- m* O) @  h) ~9 n" T
5 S) }: q3 v, h" c" K) h
7 i4 |) q, K' v8 G7 e1 U这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

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. o$ F1 N! n& y" T. f

- A- z$ {; F4 k* P6 m: o7 n

这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为

, }8 U+ _' u4 G9 j
3 i8 V0 a2 i6 M, d+ H



! G/ h& g% v8 o+ L/ l, h3 k两边相加，并利用 、，得

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( A) I! r  o" s, Q8 n9 P( m* v! G9 P
9 S' s- V/ n: `3 Z% C7 {2 z# w

若取前 c 项相加，则得
/ X7 f5 k( O! R: N) J
  w4 C0 c/ F- }

5 t& f% _2 F( u; e0 Y# I


& \5 T! z# \. U6 h情况三：  
7 `& y8 v9 L& Y3 [, x$ R仿二之解法，可求得
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! w+ S+ Z: o0 A' A
8 F( {. |; C% U( z8 ?% P
# ?+ F$ R9 f7 m* P- r( Z
5 h% E# J  Y) P! F
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
$ I2 _7 D* N' c4 h/ X3 W1 s) U3 ^  b6 K
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。

2 U' O3 f7 D( ]1 G2 y; O: F3 U
! t9 u* H7 [& ]  N' v3 q+ S定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
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现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
- {+ K2 u! a, x% A! j' j
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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: g8 E3 U) b. n; ^3 U" h其中  为所下注之金额。利用
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- w/ Y' C6 f$ d1 X0 v2 {可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

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% A3 M) n" |' T+ J3 o3 E3 _



; Y8 M3 C9 B5 m% D1 v- B
( W/ n  U( I- s% i因此可得在情况二， 时，
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; z8 H& ~& d+ ?


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而在情况三， 时，

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$ [! o2 u* _* S& i2 y2 v) B


但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
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至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录


& W8 A0 p! ?+ w% V, A: j& z在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


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& T  O* q# C  ^
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% @' f. i# w) p7 j4 A8 y. \另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！