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引言 # u2 r9 h1 R$ ?0 Z, b& h
& A6 _, S  Q9 q( B& i
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。 : E2 Z& y: t; ~' y' L/ x

+ l; I1 H+ B' h0 v/ [  K$ U2 C问题
! H" L$ A5 E7 y1 s9 J6 @
" Q5 d* y0 m" {$ ]3 ?$ l$ V! n3 H* R) ?+ U  T: |+ h
有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
8 Z0 n+ d" R/ @' c3 I$ I$ u, j; B5 ?3 I
当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
& z4 i8 R! ^0 v- q# k0 K
5 F2 [: g( Y" ~本文
; t6 H* T, N' J6 {9 T$ a0 \# }( w+ b# m

& D/ N& `8 N$ |3 a& V  |: K问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 ) G* f3 v& A3 s) O1 L" A

# T1 \4 E& X: b7 ~# r; r为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 0 u# h, k4 |. U
* R, M. u. x6 I! M
$ t2 L% j6 I- }1 \0 n- V5 p
方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。)
  I  i6 v8 {' O. k7 z方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。) # K4 X: x2 k- N0 M2 ^3 k" c9 d
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。) 3 D) t! D7 u" t9 U0 G& n! {, d
你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
1 H2 w6 t+ M1 m5 E
: d2 t" T- J, e( N首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 # Y6 p4 _, K. k
4 E! x6 H: P; m9 r1 o- R
++,
; E/ R2 p+ F3 C6 ~! A6 r" P+ p+-++,-+++, ' L7 D6 y- b$ e: S) h0 {) V4 L
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, 7 ~2 v. O9 F$ Y5 r" P
                                                                                                。
1 E5 g2 C. _3 j& P: P在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
; S! ^4 W4 H, z7 J2 v, t7 X5 R2 E

8 o" }$ P' t8 C9 v! E( W6 n  K+ F% a. M- Q3 S
* p; T2 T: w0 L1 [4 V# p
' n4 T! I) p& X. ?% r1 |9 u. ~9 |
  ^) ]- u* r& {3 w. l
" A6 K. g$ Y3 n$ L2 a

3 K8 G% t0 B0 ~9 _
1 c5 H; Y3 G! N
; t0 m( g+ M' C; E6 p$ y$ R5 o- `现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
) j) P0 {2 Z& @" C) `7 @' E  g1 c# ~2 w9 K; P
++,+-+, % H, V4 N: I+ `. l8 J
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元) * e+ V+ v5 p; W
-+-+++,-+-++-+, ' L! [! T: N7 [. Z3 k
                                 ) L, T8 d6 O  f1 n' u( _3 ^: c
, , 3 }8 P. G  J: [; ~7 \* ^$ B
                                                                                。 0 Q0 X# C4 l6 a+ g

# T' n0 d. G! D& W/ w0 N仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
: h# A* y5 |7 P4 S) l/ z3 o9 D5 v& C9 `; C3 ~

  x( a) l4 I0 g( t! O8 G$ A5 V2 @1 z

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! ?  u3 s0 Y+ y* U
$ n8 H# a0 I3 c. ?1 v
" `. Q+ @) I4 E4 ~! ~$ u最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 2 b  z' o. t' `1 D" L8 R
& K& |0 z, c% e% s
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。
7 U9 m, ]. F2 D5 R' c# C( M
- o! A( Z0 W9 w! |2 r5 Z3 r' ~这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
7 ]$ }: A; ]7 e! ?1 d- F& x' I, h! k
1 g6 c0 G$ H2 Z) U0 x0 P现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 5 Q8 H* S7 u% }% O7 J
5 v- {7 }# u3 [4 {5 a2 ^. ^( o+ U
- j$ N2 @+ X0 l/ |9 }7 E, K
情况一:  - |* h: x9 J/ M0 |. o. h
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 1 l: V; ^0 N; s3 A- h% q3 D
$ ]7 p+ E  x/ U) D' v* b: |6 U7 t
情况二:  
" l- v7 I! Y, G2 S& H, w- d2 T, I此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。 8 V: p8 D" G& X* N9 L
" `0 }# _/ p- W* [
情况三: 5 s: j; Q* [( h3 A/ L2 |& W0 ~) K$ R
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。 1 b5 |& L2 K- H. ]
/ C/ I. A1 x8 b, [8 p2 W6 c
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。 * p+ l/ {. W0 f& \" m
# O' Q! N! _1 y) A
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。
- L- t8 p7 i1 W: \0 h. m: V* ^/ z4 d* M$ m- |+ W$ E: {1 \$ X
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。
: ?4 O9 z% x8 x& ]6 o+ K
' Y; s- U0 ~+ k( a2 C
1 ~+ W1 |" S5 i7 c% b7 @% r! t3 {- |情况一:  / W1 i, o, Y2 j1 U" |
假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
1 c# X" e' ?4 J$ r; w
, N! ^3 w: b8 ]5 w2 @) Y3 F- e- j. F9 x3 Z; {+ y" M( I

5 l* Q* L( \8 K5 @0 P5 `
& s$ D) @& h2 y  h& R4 p: h7 N6 k* Q7 F" f& H4 g+ Y7 S* U

8 `" O! Y# U; G, E, Q7 V9 f这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
8 f. W2 C8 c/ b4 J1 l" t) u% |) Q* [: G
情况二:  & B3 @" z: X& A' ~( L
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
( W8 n! ?: l7 W8 f2 A) I
* T. r0 k( U) H; u5 ^2 Z
$ P2 d& P' a2 x) y. j- ]+ G& M0 U2 }& W8 G
4 o1 M7 ^8 q) O, _

7 R/ c- a* {+ J
9 a! E, i' W. ]这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 $ q- H/ W! z% t# ]6 _0 T7 l
利用p+q=1,上组方程式可改写为
0 q& p' |* p0 ?5 R3 ]( d9 u) {& c# J' X- K& T& |" [

7 \# @$ ~6 V" y$ y8 u
( B* `3 Y7 z$ T1 u# W
% {, e+ d3 n8 E$ g" h
$ n& Z+ X' i/ w% [8 F0 T( @4 [  C7 h: k3 t$ E
两边相加,并利用 、,得
/ C! S5 d0 c& `8 Y3 @  A  K
4 }; r3 f% `& c) j; @! Z# i+ n
9 Z& p2 `6 N: s# j# x( N2 q" B8 d

9 g1 t) A" @+ `: L3 x6 h. R0 T$ I
7 r1 S3 y9 h- o6 x6 U: h3 o7 P8 @' U2 U9 U1 ^- O
若取前 c 项相加,则得 & M! }0 c- [( m( L" O1 }; H
0 \! m) y5 `( g' {% b5 \; E9 }

1 s6 J, |' c  e& ~3 [
- H2 |  }4 D( Z5 i1 t
* N3 z, F# [: {# m$ I
+ ^+ z! C& }# P; l2 v/ h2 l7 _) a) @) `. q/ G* i  o3 r3 g& m. E1 B' N
情况三:  
" |( w) ?1 G  c$ _  L仿二之解法,可求得
6 q; Q4 b; u+ B3 B' C+ x" e1 ~. \9 N* q# n! D% E

# H1 ^1 l  \& [: N2 O/ t$ d" u" s, _( j" |; L
( W; y9 T* ]" g( ^/ w  {- ?& l2 S' T

; P; h( l: \3 `) @& o) H" m& Q+ z6 e

  z- J8 Y/ s/ ]# X% D6 l4 Q保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。 7 h# X5 i3 D5 s- l/ m3 G; t7 z

# z& h3 q4 y" Y! H: W. W; X首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。 1 v' @% u+ W' B8 p! P6 ~
5 R8 m) b% t! s* a+ L: F

3 L" j+ V6 ~% Q- p; V9 k定理: . e1 W. i- _% g& T& N7 p
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
* {- T3 q- |4 ?* W4 V9 d此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
1 p2 P* R7 V6 ]7 {% P5 k8 l1 `9 G
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 ; j3 U8 P; c! B: F' h
; A' r; Y6 |" V/ {4 g, h1 r) [& X
首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
* E, r' X% s; B' D( P2 o- \4 k5 V! f' i! x8 I
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
" U5 R7 ?- v; U! b: J8 [
" _  u, q1 X$ N* v7 |7 |  z* z4 N3 A' I" q

1 N+ e* m5 d* O0 J6 e, j; v' N* E6 j: \6 H# Y2 K" X

- p  }' v. g- {% f0 A) d1 ~" p' ], W. L' y2 ~3 ^" i
* I& _. T9 |% i+ t' X) n) U: k# M
  i1 z& [) W$ X/ j
其中  为所下注之金额。利用
2 s* F5 b! {4 ~% F/ A/ r
1 ?5 A: c, M8 v8 w, ]: ~" f! \, v
9 y! a6 x# a) ]! U' q& ~! }* A- A+ @
- S) @* P  ]1 k9 k8 ~! s: X3 b) n% _/ t3 G" ^) p4 w
, x6 A" Q6 b" X/ k3 ^; ^: e

5 ?. [! X# K. D/ F% m# E5 k, E! u; Q# o0 [

5 l5 z7 f2 M7 \; H9 o, L可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 : @/ Q1 r, w4 }

/ \2 ^& B( @, y% l1 K. h3 U8 H* I  w6 ]1 I/ \

' C* z, o' p# x# w  J$ t; V3 R+ ?  S3 R5 Z

" ^: R4 ^$ L0 x$ O; t. Y5 D0 j6 e$ H5 @  m% h! {, m7 ?
2 R( [; f, L" F. n* R' o
6 ?, i0 N; D, M* P
因此可得在情况二, 时,
( a2 U2 [6 [7 W1 z* j4 O1 t9 q' W3 P: C; Y

# d! K  T) t: ?* `( z5 i1 B/ E" k. v9 i* R
. U" ^1 Y& ^( j/ G8 R" R

' a1 k1 S( ~4 J
+ }/ K' e7 V: Y
3 C" h* T5 g% i) l  z" [- O" N* w7 a7 y+ ]+ B- V. B# E
而在情况三, 时,
: W+ H7 F# M* a+ O$ u+ x3 x/ K* g4 x" F. n+ c3 W. f

4 O* P. x4 E$ Y6 O$ `; R$ R* }* ]) T0 i$ O6 Y

" b5 Y( |' t8 L4 S* n" f9 A" K; h. p& f/ M' t, Z3 [& ^

% s/ ?1 V$ C/ Z6 p* R8 [( u, I# n. h6 S: h8 d( D0 O  G  x
% q9 L* M& `( ]- g4 O
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
6 J, c/ S2 @5 L; h" p2 C. b
0 T( c3 R! D$ i( O  T" e至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 1 \6 o' ?/ `9 ?  R8 B( Z6 Z- ^. w
4 k% w0 [) O, S- J6 @# L" M8 y0 @
附录   t; j1 |2 p9 l+ E& w, H
: d) e+ }$ u. G: {% H. v) I. _

6 B( ?/ Q8 @( }在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为
0 e  Y* o+ p" w. N; `/ ^- p& y8 Y+ S2 k2 ~* l+ ]

. y1 E: }4 K7 o8 N8 m* `2 X" M. @6 b
- c! w* L4 i7 f7 D9 ~
! f, X8 ?" i+ u& D

5 y, X+ ^! p; b: d9 o
: [% p* R6 \/ O, E
. c3 P7 I. C: d9 S4 Y1 z$ w# m4 l: X另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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