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引言
7 ]5 e0 k9 P5 w# }5 _1 Z0 q; C0 ?7 X! ^
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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问题 * f  y/ D/ y2 a

( Z2 N& o: K2 }0 @0 j+ Q- g
  }$ F+ M& ?" p) k$ M/ h有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
8 K5 Q( k# f: h' W
8 d2 Z% v8 X1 U5 b当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。
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本文 % m1 [- |0 ~/ j' M& g+ q, e+ r

) @! I* Q$ ^4 r) P0 ]& C8 x7 [7 e$ [3 c2 H
问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。 9 }- t# C% j; w. S0 t2 Y7 @
& r; O# Y0 T8 {. j
为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。 - q1 L  C7 l5 \0 A+ |3 O

" j0 a/ T, h% L2 e$ f% p5 x) e; q9 i9 Z5 Q) x- s  Z- I  `9 X
方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) ' Z+ `1 ~' J- Z* i1 M; ?
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。) ; g9 [( x) q! S5 w8 U/ G
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。) , z8 b! ^2 o0 y; Z5 z- q
你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
& U, \2 b3 D6 m1 Y# p- c2 d+ s6 Q# V
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。 2 S' v( x% K1 [# e5 i4 H7 v$ R" Y

# l4 \+ m- x+ ?: w7 M3 Q2 _++, 3 _2 u# ^5 I- r/ a. g2 h8 @
+-++,-+++, 1 i. V# I) V. C1 Q* Y
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, % f% l/ E2 Z7 M6 g6 A5 X; P
                                                                                                。 8 @" J' O! r. j  a/ I/ U3 h
在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
0 n* a) H( e# K2 I- w) G- M" ~7 `
/ S4 k7 g8 G. \3 b9 c2 q) S$ G3 I" H1 e1 K
: ~. d( L3 H) Z& q4 V. l/ `3 D

1 D+ ^3 H0 y) S
& r3 ]9 {4 j9 E! V* ]0 B0 D
3 {1 N$ E- k7 v5 @8 R
) G. C) O  ~( a/ W. y8 B5 S1 E  J) `
: C4 e' u3 e* O

8 F! g; `! k2 g; T/ y8 d现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
  b+ H+ `! b8 B8 v5 g2 M/ M2 R3 s8 R9 L# `2 d# J. Q4 ~7 @
++,+-+, 1 e# f" F3 x/ P7 }% v$ `
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元) 7 G0 u+ t3 X' b; K. }, s
-+-+++,-+-++-+, " ~7 }5 d- J3 c$ f' q
                                 / `' o  b# C/ L/ c
, , , L: X3 r' G9 D0 V
                                                                                。
8 Q. J; @1 n8 k6 Z, [8 D6 P0 `. Z8 @# A" |/ Z: d0 k( Z7 u! Q
仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
  i: D) [+ d9 }, ^, h
* D2 S0 A! f- m! j, E4 x) Q/ s; Z7 n) o

' B+ M0 |; s6 y% V( p6 z' b2 ~  a! i, r; H0 D9 L. G

7 H1 Q/ Q* b/ c$ F: ^9 [" l  U1 G- E; \$ j3 \0 ~3 X
2 W# f, Q& ^4 }; Q' N
' l& I/ J8 w, d% B+ [# Q0 F, z5 R
最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。 7 u" P  P. m7 l3 |$ F
5 t4 q9 C, ~8 c  D3 Q& e
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。 ) x/ m0 ]: a- H; C
) Q! k8 @5 E3 f# ^
这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢?
8 N; Z8 V2 m7 u) g- c" Z: K) O% f; J& w& d. \
现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 % D  L4 O: H/ |
7 H! g0 u# O( l9 c
  y1 O. Q9 \% c7 |& r
情况一:  * C! F4 ]4 T* f9 C# i* G& `  t7 z
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 7 j! J# t8 q& A3 d+ K. {: ^: S' j
1 c# B" Q; U/ A/ J
情况二:  
$ G8 v" w5 k0 L8 o3 y8 q( {此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。
" E; X% U5 |( o$ Z- u$ O
, s, s( I3 Q  i情况三: 7 T9 @$ a( D( A: v1 ^
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
, s: p8 Z# a. P$ s$ `7 v1 G& I& y. ?2 v- d8 r; K! S  _: S' J: g
现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
+ P) \- Z( ^" e! ?% U3 S4 m0 N6 L- ^2 W! s) ~& L. |2 e
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 2 e4 E' n) N; O& Y3 x

4 _' u1 K' m0 W" N/ @) g( x如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。 ' y1 \# q/ y9 Y; }. d
7 D0 S- Z2 h1 J: I

9 n4 H# t+ }! J  G! C% A情况一:  
: K! v" D; ]1 @! I# E$ O# R假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此 1 \1 Q' s7 `, `; N9 ^) Y# m
7 P4 E, q9 \& Z% `9 w& J( g
, A/ s' h% ?$ G! U( N1 s

, r  L( C/ f2 T1 x' T! c2 V; l4 E
9 Q: B& R; [9 K" p+ N2 b; ?  I7 L
! F7 V/ M- l* L6 t8 V  {: M
4 n: M9 f* `+ m+ R& g# c这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。 ( R0 V6 o* G+ Z0 G

6 F" o- G7 J" F! N! e情况二:  
. s: g3 e* ]# g6 S; a; a# P令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 4 y6 }  S+ Q6 U: x7 r; G

; x% ~$ }6 c# w  S  B
7 k& e6 S$ _0 ^) [0 v: C' R6 e
( c6 k7 ~* K( f- U! A9 |5 |
; ~9 I# ]  |5 V* U9 ?- e: w1 g6 W$ O/ c! ?6 h8 z' J5 v; e9 g
: ?5 ~( S) M: h  T: D
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 ' }0 t( W6 ]! M0 T4 u1 F* k
利用p+q=1,上组方程式可改写为 5 o! @. D% U% R- S9 U
9 d, R4 L6 d2 n2 b
* @1 |% m& s! C7 T- _+ [
7 ]" \7 ]# G: f" ^; j5 {  [# n7 Y
0 u2 @) T! x) l- S4 M* I& M
2 i- T; ^2 g, i

4 ]5 Z2 ~' b4 l两边相加,并利用 、,得 ! R# m0 @2 {. O7 d. k
' p  g- J" H4 u9 u* J
7 R' k% O, \+ u4 A4 @3 U5 a/ Z
% w1 m# p! e# _5 b

* X: C9 t0 O% v- }( h5 J: h7 `
% l. O0 i- `# Y' J* z4 [, Y* X% ~+ }! d
若取前 c 项相加,则得 5 i" F2 q0 m  g' l
1 `: e8 M9 E& f3 ^
8 [& f, r) T' G" b! y, ~

2 F% Y8 \# V$ A7 B0 X2 c' a8 h; |* _9 s3 E1 z. P4 s* X3 Q
& m+ g- ]+ x' p

- H2 M" g8 {2 v' H情况三:  
) C/ L2 ?6 ~: ~仿二之解法,可求得
) \  g+ l  E/ b+ L3 J5 E$ j# |$ [9 n) |# q+ |- g
7 @) v" D* u4 J* D. z; C

5 J3 I7 I# C3 C' I0 t# x. C6 O. a9 p. n, M

' p7 n1 q2 T5 G; R* x  s1 H1 g$ m" H) J: A3 }; x, L+ {
- O2 X9 k1 x. S4 ]- D4 q
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。 , P/ H+ I3 R: c1 s' Z

; o! ]! ~$ j  n首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
9 x# {* D& `- `+ U8 q! [" I* t  s/ x4 ]# g; v% i3 ^& `
: l$ P$ t' u8 l4 o! I9 I- _* g2 Y
定理: $ [) h  k/ D2 k: F* U
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。
- D+ d  k2 v- H! k7 P$ y此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。 ) I9 j/ t, r/ m: S) c9 n
* P% u# S+ K8 h* R; @
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 $ E6 M; \) o. V' i) b

- L: p$ b2 E/ m/ D1 ~/ @首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
9 ?4 _' _2 o# ?. B/ Y' `' z! e/ Q2 Z, V; o- q9 _$ A
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
8 {3 T5 S1 c7 z9 U$ W
+ m  K' ^5 V) [6 y* G
0 t0 u" S  U% S6 q- k& ]* \4 D
- r% \) U) X/ ^  c+ v, o1 `4 r  F7 B' z' y1 l
5 x4 K. P# U6 H7 a# q: `

" n5 p9 N' o8 ]7 s8 F( y1 P$ T( R5 G
  P3 E2 \4 j6 s' R5 ^$ Y; I
其中  为所下注之金额。利用
3 ~9 f2 ~9 S1 C* n7 o+ K: D3 W2 y7 P) v% t# Y6 [
$ W3 {; H2 c& ?* }8 l2 B8 Z0 ?  W

* E& ?5 j& t: j( R& e& L: O. f; M0 e) a6 I3 e( p
5 _  m: y3 l& C) ]- T/ _

( A5 ?% W6 C0 P( G+ ~
$ B1 L2 c; z- h  k/ h  e6 `* g5 [# i* v6 T& L: j
可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 9 E% k: j4 z/ k2 s4 C4 p2 y3 a
+ n0 h) K: A% V. Y- D+ |
0 k. \1 |' o. x: T  P) F" |
) }+ b. z1 h) T2 B& ~6 `

# ~) H4 O- I$ E+ ]% ^6 D9 @9 F( n7 T% w$ G) K1 y

5 H7 n* Q% z4 x7 V* J. n' n. t+ O) d: C- ^) _: e& u' S

! }5 N4 }) b& o# T因此可得在情况二, 时,
% Y+ _  B( F* S1 c5 L& K
8 E, T8 _6 s' m1 X2 |- s" i) ?  C; G) [( u) u0 {  E, `0 s
0 p2 a* _$ z/ n5 K, P

7 I& r9 U6 }0 z
# O1 ?8 s- s) s2 s* g1 S; E
. r/ N% z9 L2 c: P  A$ z0 q+ h6 R+ ?' g. t3 ?7 t# d
2 V  D7 G0 G& \" [
而在情况三, 时, " L5 c# u' K7 K

8 W1 U6 A$ k$ Z* N5 w8 }% v2 i/ S9 a* t6 O1 U& X8 t% J

. Q, u) _/ h8 {0 }( c
& r2 F6 l6 q0 k3 h1 k5 i
1 ?2 R  O) U6 N3 @) {# D+ Q$ [( K5 ]0 H. v$ t3 Y) ?1 H+ `4 l/ a

0 {+ s0 z( X1 ~: Z% x  s; h  q, o" ~; Y, V+ W4 p! C# x) v- D! a9 j8 e3 \
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。 ( t/ `* @+ d* [9 r) c8 x0 {
. t, M% d, f9 |2 U7 Q+ _
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 , N, p6 b  T- G$ q/ r2 r

3 }' z' ^' R5 U7 `# ^8 C附录
  }' K! n+ f' b  f$ w/ }2 z8 a, q9 h5 g, G( Y/ y$ [# H

9 y" v6 A0 c+ L7 D; b( S9 f在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 2 F) I$ w2 d' {4 ^( n' w& C  F5 ~' f

0 n$ _  i3 b4 K
( w. q1 W* d1 Z2 c7 H4 \9 `$ v
3 p0 i( t: P, Z* u- F6 V( G! b& D4 D

; h8 P! O, }6 A- R* n+ }0 U7 F8 A/ e  ^- Q
: e" S% b0 f! v8 D# T7 ~9 o
* E) a, S: D# U
另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
avatar
太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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