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引言   c1 A5 [5 D% p, P0 C
' K, g6 G/ |8 N# c  ], E8 H
在日常生活中的许多场合,像生意的投资、决策的推行等,我们往往无法事先确知其结果,但对其成败的机会,则往往可事先估计出。这种成败的机会,也即是我们通常所说的事情成败的机率,然而使事情成功的方法不一,所以如何选用一个方法,使其成功的机率最大,是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便,作者特考虑下面的数学模型,实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的,不单是提出一个结果供读者参考,而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法,让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。 ; P/ E% p+ H6 ~, Q& z
4 ~- O# |: J2 v  }3 u, k, n/ T
问题 & ~. W8 C: U+ g( s9 B+ v* O

+ r- q* m3 c; K2 Q9 p
7 C+ u4 }9 l8 z) x3 `4 [有某甲持 c 元,拟与持 m 元的庄家赛局,并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中,某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽,整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注,才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢?
: |: r2 g! y0 u. ~- N+ N1 o
4 h8 v0 Z) F, R0 r5 Y4 J当然,我们假设下注的金额是合理的,比如说若某甲现已有 8 元,而庄家只有 2 元时,那么某甲最多只能下注2元。 ! ~. D; j. o: f
, W. w3 p. K5 l+ ]
本文
  r0 E4 m& M  m: f: S6 F2 K% f" e. Y; k

6 i9 R3 V. h$ a! G- b1 s% K( G问题的叙述虽很简单,但细思之下,却发现其并不很简单。这道理不难明白,因为可下注的方法实在太多了,要一一比较是不可能的。
* B& p' `( t6 R: l
, J+ w2 T; v4 @  P% D* [9 X为了要克服上面所说的困难,数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法,这些方法所以较常採用,泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然,直觉的认定往往是不可靠的,所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法,并比较其优劣。
4 \% P! f4 Z! G; W. S; D1 I, _. |# y4 Y
9 I7 K0 X. ]* F+ K7 T, T
方法一、每次甲均下赌注 1 元。(显然,这样的下注法最保守,我们称之为保守型下注法。) % {5 b" s% H: d$ O
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了,则下次仍下 1 元;若输了,则将赌注加倍,依此类推。换言之,往后只要一赢,他就下 1 元,否则就把下注金额加倍。当然,我们假设所下金额是合理的。(显然持这种下法的理由是因为只要一赢,那么非但所有输的金额即全捞回来,并且反多赢 1 元,我们姑且称之为输不起型下注法。) 9 u' G3 l( d: l. ?2 c9 t$ |: z
方法三、只要许可,甲就将所有赌本下注,因此只要一轮,某甲就血本无归。(显然这种方法是最大胆的,我们就称之为极端型下注法。) : f0 [8 g9 k2 ?  @8 M, T
你会採用哪种方法呢?能说个道理出来吗?事实上,答案并不简单,它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关,也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计,我们以「+」表甲赢,以「-」表甲输,并以+、-所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。 % e# s# H: c! [1 N: `' B) K
6 B4 H0 ^! m6 f3 v9 w. r. W
首先我们考虑保守型下注法,此时只有在下列诸场合,甲才会赢(即庄家赌本输光)。
/ N1 j# V7 \1 J7 N  a- B# V/ s4 i/ E: G1 O3 c/ V
++,
6 m7 f8 Y$ S4 P$ q9 W  y0 U+-++,-+++, 2 d6 C9 S0 N4 R0 Z& Y4 u) ]7 \
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++, % m4 n9 t1 M9 w" ?  N1 s/ S4 A
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在第一列 ++ 中,甲连赢两次,此次机率为 。在第二列中,甲赢了三次,输了一次,并且有两种可能性,所以其机率为 (q 为输的机率,故 p+q=1)。依此推导可得在第 n 列中,甲赢了 n+1 次,而输了 n-1 次,并且有 2n-1 种可能性,所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中,甲赢的机率为
/ J5 ~' M, _( F' e/ [0 D0 E: r  A/ I; g) i9 r/ j
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$ e% n) _, `, ]5 V. l7 h% n6 ?0 i% i7 I! h

) x# a  [7 y9 o/ Z) O; f) a2 w0 Z0 Q1 ~9 S. F0 a% A

- b: \4 ^* W2 R2 K( ^( X) u& Q. m9 l2 n: `0 T( c
7 d# K, h/ f6 n3 ^: G

5 f: h0 u) x5 Y* d+ X& J! w现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合,甲才会赢。
7 W+ K, {- B/ V8 n' S" C9 e: k: T6 C
++,+-+, " ?0 d/ w! b: b3 k) w' ^/ r! c
-+++,-++-+,(注意:甲第二次仅能下注 1 元) * ^; Y& N6 M0 d& U. F  ]# m/ k5 ?* F
-+-+++,-+-++-+,
/ U+ r, ]( t: ]: f, v+ Y" {* L                                 + B0 U! @% @+ L3 J
, , ( y9 m* E' k! _5 n7 R, l; P
                                                                                。
1 W, x7 P* e1 x$ S4 Q" e
: T4 x+ k" E! h2 W仿上之计算,可得此时甲赢的机率为
6 s! F- |7 D3 m0 u5 ^
4 J0 O: Q# z3 g: D1 J4 q
5 C! T+ }6 p3 ^- _8 ]$ j) {2 Q% E/ W9 f0 s: x5 N: I6 t% k- l

* a( m+ F' P, t6 Z6 z5 s& j: X* Y! }. W$ h" \5 ^" Q# f' L
$ ~; I* k9 S3 Q, p9 |; Q! R

  {: ]( J" N. A" X! k
% I( i" F! a7 c- k: X最后设某甲採极端法,则甲第一次即下注2元,因此一次就决定了输赢,所以甲赢的机率为 p 。
$ Y0 f$ r% n! `3 u% W, z4 A: V( K9 r# A, F& K$ w1 R( A) w, j
现在我们再回到原问题:究竟在这三种方法中,以那种方法最好?由于相对应赢的机率公式已求得,所以我们只需将 p 值代入,进而比较其大小即可,举例来说,当  时,三者之值皆为 ;而当  时,三者之值依序为 、、;至于当  时,则其值依序为 、、。这些数值告诉我们,当  时,三种下注法没影响甲赢的机会;当  时,则以保守法较好;当  时,却以极端法最佳,保守法最差。
3 S8 M: P$ w% a% \- _6 r
- w& |4 ]# N- ~4 k- s这些结论,是不是有些出你意料呢?其实问题还没全部解决,迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好?还有,我们仅就特例来考虑,在一般的情形下,答案又是怎样呢? / O6 ?, q/ Q  V' }

8 h% i5 R: y! g0 }! |5 s现在,先把最一般性的结果写在下面,其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。 ! s+ M/ m8 c6 j/ n
7 d1 L1 k3 i% r8 L/ o+ y: Y

. A) W6 M% r/ }* }- B情况一:  1 W9 ?1 a$ M$ ^  q! ?! \
此时不论甲如何下注, 恒等于 c/(m+c)。 / x* P1 u+ a* y# G

& c% z2 f2 A3 G& J, {情况二:  - Q1 |& P1 r. k# w4 W& D  x3 y
此时不论甲如何下注, ,而右端为保守型下注法赢的机率。因此,在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面,极端下注法的赢面最低。 * H  ]3 w  R6 @2 ~  C( W" a% W7 h

7 n" \0 s8 Y" b/ b5 ~9 [情况三: # J- o2 ^' Z; S3 K- a' s
此时以极端法最佳,保守法最差。同样地,保守型下注法赢的机率为 。
$ R, l% p" G# \: W, l
! a' U/ r3 _, `& \' ?5 T) `* S: O现在我们就来研究,为什么会有这个结论!这用到了一些数学工具,不过对其中较复杂的部分,因顾及本文的可读性,笔者只很扼要的叙述一下。
: K1 @% B+ j# G$ p* _: y" v/ N( @6 U! I6 Q( W5 ]6 m
由于在上面的结论里,保守法处于一个居中的地位,所以我们先就此法进行讨论,然后再进一步研究整个问题。 * {6 O; G- k0 _2 j2 V; y
: {9 _$ s: X5 Y
如同以前, 代表当甲所拥有的资本达 i 元时,他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元,所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地,,,而  为我们最早所想求得之机率。 5 C: @6 o* J3 O  g! [7 C
: J1 W: S: Z# {+ Q/ N

7 X, ]  `; |% H: a. E3 w4 k7 C情况一:  : W/ X5 M- j: Y* O: ?
假定某甲现有 i 元,那么有  的机会,他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
2 M$ S2 K2 Y2 \- t; N8 w; v+ ]
5 `$ {- t6 g: w$ d5 d2 p# L* V
' C7 e: ]5 m5 h1 K$ {0 J
/ J0 R7 J+ p5 p( \6 l! Q/ z" G
  F: ~) d- m* O) @  h) ~9 n" T
5 S) }: q3 v, h" c" K) h
7 i4 |) q, K' v8 G7 e1 U这样的函数 ν,在数学上是一个线性函数,因此解的通式为 。由于,、,得 a=0、 。因此 ,亦即甲的赢面为 c/(m+c)。 : d; Z, {$ @  q. X" s
0 ]- \$ p1 n2 O( V4 \! w; z! f
情况二:  + i" ^2 l, p# U1 k
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式 $ h1 D$ B) O3 ?$ w7 U! _% F0 \

, V- p" t" v, H) h$ N# ~
. o$ F1 N! n& y" T. f# e8 X8 \9 M( T0 U3 i; B' N: X

- A- z$ {; F4 k* P6 m: o7 n( j! ^. U% c& F) w  ~
9 H1 ^* G% d7 r3 V" f& x
这样的一组方程式,在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法,但其道理较深。为此之故,我们特採用下面的方法。 . T+ G( l0 r7 v
利用p+q=1,上组方程式可改写为 . J! t9 M+ P4 K

, }8 U+ _' u4 G9 j
3 i8 V0 a2 i6 M, d+ H: f# _. v2 ]1 u' }: A7 {
' T: ]) X! R5 A+ O6 e; p: }# Y3 F2 V
+ ^! K9 X2 u# }

! G/ h& g% v8 o+ L/ l, h3 k两边相加,并利用 、,得 6 |! }. \3 ?! T2 E6 R" U8 H

: d1 ?2 D  H9 I( d9 L0 m* J* O5 b( \) T. \% Q

( A) I! r  o" s, Q8 n9 P( m* v! G9 P
9 S' s- V/ n: `3 Z% C7 {2 z# w5 r$ F$ Q! U( |( S6 j6 ]
  \* h, X2 k. i& n, J+ m2 X. j1 P
若取前 c 项相加,则得
/ X7 f5 k( O! R: N) J
  w4 C0 c/ F- }+ D8 \& m# r9 z% i: m

5 t& f% _2 F( u; e0 Y# I3 h6 M) c# E4 J3 K( j' O/ m
# j8 ^+ i2 `5 ?  |+ J) m1 m

& \5 T! z# \. U6 h情况三:  
7 `& y8 v9 L& Y3 [, x$ R仿二之解法,可求得
6 Y9 K$ P* A" W( U3 u. L3 R  V+ y! E2 o3 P! D( E
( _. ^9 d2 S% x- n2 O4 T9 F

! w+ S+ Z: o0 A' A
8 F( {. |; C% U( z8 ?% P
# ?+ F$ R9 f7 m* P- r( Z
5 h% E# J  Y) P! F6 O. }! Q" k- Y% B& H
保守法的  已求得,现在我们来研究为什么在情况二时,以保守下注法的  为最大;而在情况三时,反以保守下注法的  为最小;同时另一方面,在情况二时,则无论何种下注法, 皆一样。
$ I2 _7 D* N' c4 h/ X3 W1 s) U3 ^  b6 K! j; c# D$ N5 F+ a1 \$ c
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时,甲所拥有之资本额,因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c,即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间,因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。   r2 R0 P0 [) I0 L

2 U' O3 f7 D( ]1 G2 y; O: F3 U
! t9 u* H7 [& ]  N' v3 q+ S定理: % o7 v0 }, C5 L
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下,f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn),则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」,则结论亦真。 7 T  E" s8 ?& O
此定理在机率学上,即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem),它的证明已超过本刊程度,所以略去不证,但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说,其实是说若你的第 n+1 次赛局,平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值,则当整个赛局结束时,f 的平均值也与原先值一样。另一方面,若在「」的情况,亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值,则当赛局结束时,f 的平均值也曾比原先值为佳。
( T. d; s1 M6 f( P/ @; e. }8 z. c( y
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。 : C1 x3 S; q0 h
  R. [" R# v! D$ Z  l, B% [
首先,我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn,则不论对何种下注法,因胜负机会均等, ,所以若给定 Sn,则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ,所以知不论以何种方法, 。
- {+ K2 u! a, x% A! j' j% @+ \6 ^- j9 W
至于在情况二或三时,我们取 。此时若给定 Sn,则
' ]" B' Q8 K+ w* ^" O
1 M4 q- g8 J9 |2 g& z
/ v* B9 K/ v6 R7 c9 R) L* z/ G9 T- Z$ ~# v

* U2 c" O3 S) E2 e' O* w; C/ h4 Y! C! n( n

1 Y9 G- P1 G6 c) s
4 u5 c5 p: w+ c0 r' m4 u
: g8 E3 U) b. n; ^3 U" h其中  为所下注之金额。利用
- ~# N9 v7 d1 L! h. W' Q
% E( ~$ b, u/ @2 x7 I8 `% K4 K7 M9 j+ N1 y8 O2 c2 |/ @% f2 W. @& ]
) U" [9 i; f3 M  P3 N

0 a& _# f7 P% n- i
' l& h& D0 x+ \/ H8 i1 f
9 w/ \5 b' a* q# U& m  D8 E% C
, E. X  j  |) I$ l0 T, n2 n9 s3 i
- w/ Y' C6 f$ d1 X0 v2 {可得不论以何种下注法下注,若给定 Sn,则 。所以由定理知 。但 ; |! \3 j  E7 |, }9 d

! V9 K7 w4 R' x/ t0 L, Q" Z9 c, i0 H/ V9 w

% A3 M) n" |' T+ J3 o3 E3 _! [" v# D: q( m! m
( m) g9 u2 t( b
" v) L1 }/ ]3 R7 w

; Y8 M3 C9 B5 m% D1 v- B
( W/ n  U( I- s% i因此可得在情况二, 时,
% C2 [# J5 H; G" o2 i5 k: K$ {2 I2 ~6 l1 S- W

; z8 H& ~& d+ ?( |2 J. ], U. J6 K8 t1 [
" n2 F( P1 j6 k

3 w0 J( W" ]- R9 N1 ^
6 s" z' g0 A; H9 H3 k% d# Y/ D3 G
7 d6 t  r, V: D! k2 a& l4 U. w6 t/ o% H; |" x0 O: ?, y
而在情况三, 时, * L4 A! q5 B8 ~+ t4 i4 D

5 U9 |- h1 _/ u: ]! }, |5 ?3 \
( i, y2 y: L+ A- @2 X
$ S. E) U) k: `2 s0 c$ D# P$ e2 h7 n# }7 \  S' o

$ [! o2 u* _* S& i2 y2 v) B6 Z9 p6 k( X+ l! U) `/ c( E- y0 T& p8 }
5 n& X# B9 U8 h+ \' |7 F6 ]
' u3 t7 ~2 Y) U% `. W$ q
但  为採用保守下注法时赢的机率,所以知在情况二时,以保守法的  为最大;但在情况三时,却以保守法的  为最小。
' E. |3 d3 r3 C' O9 ?: D! M2 P; Z5 X3 _: a% z9 p
至于为什么在情况二时,以极端法的赢面为最低;但在情况三时,却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论,只好从略了。 ; ?' c8 ]7 a+ @
1 x: b; X: r3 _, x
附录 # x! e% U: r6 G0 T$ y$ ?. {
( a1 L2 b0 U. q- B

& W8 A0 p! ?+ w% V, A: j& z在本文中,我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题,比如说,我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T(亦即期望值)。关于这个问题,我们有如下的答案:保守下注法的 T 为最大,其值当  时为 T=cm,当  时为 - W) x+ L( e7 V1 I9 d7 U5 S8 {
7 v. O  D/ m: `0 m: j  G  G! t

+ S. W3 s" h2 W+ y! x) `% T& U3 P- H( o" c: }" |$ s
; k) i" E& I8 N$ S& N

2 }9 K) l; u. {# t/ x& u
& T  O* q# C  ^
- j* }& H7 b2 R, h1 ~( t, }
% @' f. i# w) p7 j4 A8 y. \另一方面,极端下注法的 T 为最小(但无统一公式)。至于其推导过程,与正文中所用的方法类似,只是演算步骤复杂多了,所以从略。
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太长篇了,而且非常的深奥,希望有玩家能看的明白。
avatar
3#
好文章,学习了.
avatar
4#
又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.
avatar
5#
主题回复处广告图案-天策传媒
我也来学习下
avatar
6#
太深奥了!!!!!!!!!!
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