随机赛程的最佳策略

引言

; Y3 X; Q; B5 u+ L' R8 r" T0 q) M在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
) [+ D+ b" W2 d% l; w. A7 Q
7 p% O& Y4 r* x$ w问题
# r6 R6 e& i' ?

) B$ [0 Y5 b  @  c" i6 Q2 B- S& i# J有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
# ~. s- j+ n8 P3 k/ R4 [' ]
* M% w4 R' A5 {+ u8 G) Q本文
8 m) |8 s! {, o' z/ u$ X: z4 e
+ e+ s% O2 {1 i( X/ C5 t
  E: r4 d4 j7 S4 k问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
7 {5 v6 u, r6 |* {# \. S! d2 k
. n2 _7 j4 }/ [0 \为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。
* w+ s9 O3 i8 |1 c7 B" J3 `
8 }/ W( B8 {/ T8 @! a% r. y5 ?6 `
方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
4 e7 ^  R, s, l& [6 b" {方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
2 b% c9 M7 D1 i  P2 d你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
. }5 R+ l  f4 g5 q% A
4 Z& c9 H" F" n2 W首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

+ w5 R) g& u6 A- W++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
6 M) i7 H3 c$ p                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
7 _5 w4 X0 L( Y

$ y% {# `, m; u2 b  T" M3 E

, S" U1 S1 X& c

2 l; v7 S/ D- g  M4 r8 V



9 u! f0 d2 S) L6 Z现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

( l2 R5 T+ G: R) }7 H++,+-+,
" H7 R. t* |5 o9 _/ r3 h-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
                                                                                。
) G% O% B  |$ U
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为

! ?# i6 d' K& W4 o5 B
' Y7 q$ R! ]& z! G" b



/ R, Z  v( H0 H
( x/ y$ ?& k; g' N' i# E
/ g  H5 c1 q/ ~6 n! [最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

: O4 i: `" b, W. b9 J6 {这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

# A6 `. z( r. u* S! h' |" y: t5 N4 n
情况一：  
- v; _  i  U% J# C此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

. ]/ H. a: d8 D0 X+ ^) r7 Q情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
+ U8 w, \0 Z9 H2 [- @9 O
8 J. v, S. [+ v, D( L* m情况三：
5 b* Z# j# J5 q; O此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
4 B9 {. T8 C1 x: j' @5 i
/ T7 b+ S+ m9 R$ x5 M) l+ x9 f+ v现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
6 Q& m0 E9 {$ H, a- V7 s5 b+ P
/ N: f; l' w! r0 O) R0 S/ C由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
, n6 ]* a7 U3 W  f8 P9 k
0 ^9 ?1 L! ~0 s2 y7 }如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


情况一：  
假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
( j9 N& O3 m( w% r





! z" I, M/ b. P这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

' _% H+ h8 O; q0 l9 O情况二：  
3 \+ e" k3 J! |1 m8 c0 t" M令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
! D- ]8 e( q- g. q  V

" A" Y/ f/ U9 T2 G
2 }% d: x) w1 W$ e/ }9 B+ D% r
6 U) a/ f: k1 m& J1 \, o2 B
  L, m+ a+ k" ~/ c/ X6 l
" ?/ h" M* S$ E6 p* n3 @3 d( U% J这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
/ m4 A: r  J8 C/ T: N利用p+q=1，上组方程式可改写为

. x: q7 q0 _; h, z8 S7 ]
! p1 O8 Y# T7 y* b. L- V

" p* m* m& C7 N5 _6 a& z

8 _) V2 U( w/ [7 |$ c两边相加，并利用 、，得

1 }* g: d; m: g- y- j! j+ x9 U) \- `


: F$ P, a" C1 V

若取前 c 项相加，则得



7 P& X/ Y+ z. t. ^) P+ ^/ Z

1 k( f; e( u4 T0 W
9 J; e# H3 |: @, C0 }情况三：  
; b# R: b. x, X仿二之解法，可求得

  Y5 t5 [! S, z4 l. H! A
$ d. l) \; J& _5 h7 a
* E* A4 L4 e) D0 y

5 C" w3 [/ E6 l" e# R0 i- p: u
9 O; U1 I# D7 ~3 u3 [
# {  e1 o/ q, S- C+ h. W) V2 W保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
- x* F( b! X1 ^" d9 G
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
0 X2 F: b5 }3 t" z9 [/ N
$ s2 @8 O  p# ]$ Z5 Y; D
' C% ?+ R1 Q; f/ [9 `+ H定理：
  ^) f" L/ G2 C! u( J设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
, r1 M3 _3 J2 T7 D" \6 t% |
现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则


1 r' D6 b7 @/ N' ?3 K' |8 r

, E9 ~* s& x/ R. }
( |( b" i* g1 |! K

. F0 X5 T: n) R# c
其中  为所下注之金额。利用
8 E: b1 W6 }  C+ Z& }


+ z  O) W) E' v0 i+ [

* h; s* R9 }) h$ ^& u

8 M6 I* o- ^- M5 H7 ^8 _) Q
可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

( d' A2 j& G5 W0 ~; R
; a5 A9 m/ R* O


) e2 n" b+ O% P* }) @) [/ I
6 C8 g" _& o6 ?* l% v; Q# _

7 z5 u6 a" O7 M; l因此可得在情况二， 时，
5 X4 ]% X2 W- k& p3 G7 u- a




6 N( ]. o- ?( x+ I4 I+ P
0 W$ m  p: W; G% ?" i: i/ m

而在情况三， 时，




7 D+ y$ G- ~0 Z) V7 t' s( _7 g

: @; G; i+ E7 u# A
2 Z( R. N0 A/ v6 F: z+ I/ G
' L8 \7 T- g+ |( n0 p7 l! b但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
$ k0 F5 \3 U" U# E* t/ ^7 Q
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录
3 M) x8 m! o& s& |7 {

在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为
, W& `8 Q5 C$ b5 `0 D: }. [
: c+ h0 E; |+ p
( t, l3 K, C+ O4 W7 e! _
% e$ s0 J1 d% @, o; z! P! y/ K1 e

4 Y* w+ v3 V9 w; X2 i
/ U* N; A2 ]+ w- x
% `, q8 q4 r5 d4 O" }& I! B
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！