随机赛程的最佳策略

引言

2 k( g5 p1 Z" L, E0 W$ j. f在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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  D- X' }3 k. b* X$ M问题

" }8 W* G: i, {) x# I
, H9 L- X, M+ W$ S# V( T. g  Q: U: @2 J有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
3 \3 \4 ^2 t' `
' S$ q- Q3 U$ X$ L8 {8 p: O本文


4 d' r9 ?, g  M& ^" k问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
- n2 r* @% L/ j' y) G& q方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
* K3 `0 y$ w5 [2 y2 w方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
+ f* z/ B1 r' I  e
7 A  l9 o. C) z- K( S: Z2 m- M- K首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
6 e+ k& ^) O0 j
++,
) s/ T% B3 X% x7 `0 e3 q+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
% j, k/ _3 k* F3 ^3 V* f                                                                                                。
5 b, q$ |% O: _: N7 S2 x在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
2 m  B- z9 ~. X$ D, D' T

3 S3 b% I1 g8 O! I& d


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' C1 h' A7 D6 _8 D) E2 p) {% }
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现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
' O: d! j5 f* k) W* k% h" R' K
++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
) J3 y4 [4 A  P  R-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
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仿上之计算，可得此时甲赢的机率为



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& q8 X( |9 Y/ k: ]% f, M

最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
. B0 {: X) d$ o. W$ b" S
现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。

" F/ o4 k" |1 Y3 E
情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
% J" u3 ?, I7 J* a! _; W
: _5 `! _. c2 I( ^$ d情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

. G+ ~" D, A  r. X1 Z* Q$ z情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。
/ |, v, G* M, b# B# }" h! B
, P; h$ |7 ?, p5 x- t% D现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

& p% _. g! n& T2 g9 s* k- c由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
$ a( W' v" j- ^( Z! q: S5 K
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。


情况一：  
& I# x4 I! R. _9 O假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此



# x1 w' o( a# y: `. ?4 O
- J) ~, K% v- f8 |$ `; G. [

9 m  r* {2 u6 _- q7 O/ V: z) O这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
0 o8 _# b, i* p% T7 ]
情况二：  
/ i4 f( j* R) U4 |令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式





5 d: h$ s/ q# F
这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
7 \2 k- ]7 U0 K" _7 r) U2 s. H利用p+q=1，上组方程式可改写为

$ L6 ?2 p( g2 c. ~


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! l5 x3 Y" u* x  H) F
两边相加，并利用 、，得
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) _2 \( x5 Y7 m" D; Z

4 X1 F9 `# X* m4 d, H# m( E, n8 Z
% Y% U# w2 Y; v9 D

若取前 c 项相加，则得


6 R& {$ {0 @) u& n' k& m, O
; o7 d3 Q3 O% k1 r& ?


# v* h1 A- V. C! j( B$ M情况三：  
仿二之解法，可求得
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- x3 [! Z! P! K, P4 A$ i* d% x
0 {0 ]4 ~9 W0 F- n* }% `


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" `( C$ ^& w1 `* s0 y& j' ^% Q9 X
/ Y9 N5 S+ i1 ^- y+ j保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
' m# l, ?6 ^! `. z) z& J
首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


定理：
设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
( B% K9 p/ u5 T9 }7 Q2 d& q此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
/ U! \+ p+ O( a! k
' G5 M- L) k  ?% r5 C; _$ t现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
& p0 E% S; D8 t3 U
  G; S7 Y2 e1 ]& B" w首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。

至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
. x: V( V! z0 W4 t$ A8 w
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( }) L& J" S  e3 F5 ^# L
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其中  为所下注之金额。利用

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6 I% O; s; l$ l: Q

0 a/ p5 n- l! ?- v) R4 q
可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

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  x; y! q% Q+ t. u/ y
; C4 \( L& L, I. {' u/ d) K/ [5 y8 H




7 P: R+ v, N1 S6 _因此可得在情况二， 时，


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3 i8 H5 s) g. r# b6 z8 t: `$ A, U而在情况三， 时，



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7 u5 M' f4 d: }. u5 _6 V7 A. m  J4 w
5 R6 G8 Q* ^0 y8 ~  `, a
6 [5 c$ O6 V+ Z0 ]
7 p" j3 V' i3 s* j( H
- U8 |7 @' `. S! n但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。
. R, k$ z' m. G8 ^' o
至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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) g$ v$ `$ W1 ^) x& h2 {. T附录
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. D2 d0 m, N# n
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

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$ W/ `& E. I& d


4 q, ^# i  E1 e. I  E  f
3 K2 u+ k! z, t

另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！