随机赛程的最佳策略

引言
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0 S- a: n! z0 Q( d在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

  e0 D1 v2 W+ s8 T问题


7 ?) _' W$ ~- H( ]) q有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？
2 J( y6 B8 p0 C7 k
2 _/ u7 }' X6 ~% x9 A当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
8 C: R8 w% U$ G( l7 l% [) W
/ {5 I- I/ P. ^9 y本文
( y* T# N0 ]6 A$ }6 K
2 i& N1 A4 ^. {3 z  h0 x0 T" j
9 H- A9 V5 q7 M& J. ^2 g7 y问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


0 R3 A) m; M8 A/ m; T8 a3 {& ~方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。
# y# ], R9 i  s3 W, o* V8 L$ b, b
++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
4 {3 \: P/ x( f: }* j/ D( j
& y; n, H) L5 Z. K; s

0 e, _. q) Q: o/ l) ^9 m  @


5 [8 d6 O. K) v- P9 `) n+ i2 G9 f

" B5 @$ a2 B  V  t1 w, x6 g6 r5 K
  y0 Y$ I& k, i/ w  S, |/ z4 S
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。

++,+-+,
- Y9 G6 s/ ^' w# o2 U-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
) L  D3 |' o, {8 n* s" b4 g. t  s-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
! Y" C. ?9 ~7 @' }2 t1 {4 B                                                                                。

' B2 C- ^( ^9 q( s7 C2 h仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
+ M! [" d2 A. X. v2 x& D2 F

2 |. {6 x3 O) j8 x! V$ X
# C  n+ d# G* D) i& f' l. ?


$ i8 H5 b1 B8 N. i( }
  q( x) u& F. }/ l
最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

) ~8 O; q/ t) \$ h# @) d4 K# @现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

! R" Y2 q1 e' Z( r2 C/ a现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
0 W! S! {5 O& }$ u6 x; S
( ]/ J- F8 v( b- ^
1 k# X, N2 `% [% u- I/ S情况一：  
此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
7 o6 q" w# _1 B2 D" \. G/ X: F6 O
情况三：
0 H0 x, j0 p- N# c9 J4 e此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

$ d% N8 v, L- p0 v) |/ p4 u5 \由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
7 D% N; L  Y7 P
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

! o, N$ Z0 x! a/ c( H2 S$ a$ H6 C" s
情况一：  
8 F9 m* o& q& F& Q* L$ t: o. `假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
& e# J" t3 {9 E4 |; X/ f
. e' Z. J7 k2 N* e* k# M




! x5 ~- s8 p3 i这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
; R* n9 V* ^8 O' S: ?
情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式
: X2 Z: p2 i$ w7 S, v
0 ~9 I! [( A+ r1 I; k
* b9 w0 Q1 L/ p" U# Z  Z
+ M$ O- @% Q5 P/ Z+ V# Y

6 W/ ?" K/ j3 X- W  M) m9 e) J
/ s! t. D7 |6 J1 c  p; _. }这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
# }( P* \/ F: I利用p+q=1，上组方程式可改写为

7 ]& ]" c: a8 g: u
, n2 m$ |7 U( Z) D6 K( H0 y2 K

; y1 [- |* O. o6 K3 _
8 y- B2 Q$ A1 U( N
两边相加，并利用 、，得

5 r3 i: X6 X' r9 u0 }4 z/ U. z


8 J5 ?' N+ A' X: a1 b+ c) ^9 |
, u% {( }3 _- Y, g4 ^  d# }1 m
. w0 t% |; n( _4 o: B若取前 c 项相加，则得





4 B; j1 e9 c# ]1 N, s. L' n0 {+ i
  L! s% k6 f: ?. E3 _$ x5 a情况三：  
! b& o; A, R! p仿二之解法，可求得

% F/ T8 k6 f$ f/ H





保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

9 r, r, B6 T6 m  f) g! s首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


定理：
( e4 \1 L  Q4 I8 i/ i1 [. M设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

6 v; V6 r: N  X" S3 E$ E7 D% V首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
% q% G+ G& _+ G. N8 k6 s# K
; d1 F0 r! B2 D" A" ?4 B9 X至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
5 w) X; x" T9 D$ y
3 P# g" Q* Y5 {# C% P* Q7 A+ s# l
( H/ V) P+ Y9 G8 g/ z9 S

$ |( b. U9 h  Y: C; V



( w4 _& y9 y& x4 U# E其中  为所下注之金额。利用
5 h0 C4 Y+ d/ {! H8 S
( A. I! g; ]* z* M& m0 F: |

! E# I9 q1 w4 S) r" V8 Y. T7 L; z


3 x9 ^1 L* r( y. e' `! M, P
) J0 U- a5 E* l: k, p  V
可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但



6 G, K& p# }/ C' R/ O( u! i6 b6 i! B

/ \& I1 b5 `0 {9 Z0 l6 \! h
3 R7 r7 g9 A. b/ o6 Y5 |

因此可得在情况二， 时，


4 }+ E; F4 h7 h- z% Q

8 e4 ?8 w0 K+ C$ z

% X3 I/ w' y4 j, f; p% O

而在情况三， 时，
5 W' V2 N* g, d/ |: d
7 d; I9 @5 r: L6 W
7 I, Y! l! Y% |: C

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2 {: ^  U7 u9 |
但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

' @/ h$ `- ~1 h1 @# p1 q+ Q至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

附录


( Z8 ?8 R1 K) P' P5 r在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为


0 F, l9 h5 f/ S1 o# L

# v3 c/ v( o7 R0 X( g6 A


% K6 Y6 K; r- {' g
另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！