随机赛程的最佳策略

引言

在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

5 M# r% j+ [1 n+ x6 P问题
9 X% f% I( ?* e, z- c8 x

! C8 [3 X2 y5 P  ^$ h+ P* u: F' k9 |1 z有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

2 ?3 z+ x. M8 Q0 g- P. h" W当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

/ K8 a3 \2 R, G本文


2 K5 v4 G# j; U问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。

为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
) q% d& V( z+ j" E6 e4 X2 g方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。
* R0 Q7 u- S2 p0 `# F
2 S: y6 T6 J7 J7 X' Q1 d, y首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

++,
- f* |" R& B- D0 L# r+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
- ], a# p2 O5 R& N, k) h. ?. m                                                                                                。
; R1 E1 v8 E* X; _( ~在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为

  g6 {4 ]( @2 O4 b* |

, {1 v6 k9 q) Z8 W2 s4 L
( i* N. r* M9 V
% L6 D) v: i! Y5 z

0 e$ S# g* M) U  b; q


2 B+ B& `2 V, t( d) t1 g8 f现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
" y( [- X9 ?+ k) T+ D3 {
; L! L1 S" f3 s) V++,+-+,
; r. A5 I- |& W-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
- k, V! a; O+ t  a) b) T) I-+-+++,-+-++-+,
% F8 \, P- v+ K1 c9 i                                 
, ,
                                                                                。

仿上之计算，可得此时甲赢的机率为



& d' L1 \3 o' I* r


. d/ f# `% i/ `- A
1 m% u6 n, z8 s
' J7 U0 q0 B3 ^, w7 X最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
3 \) ]1 h1 d* d3 f  j# y8 s+ A
6 x# P" A4 n8 ~1 Q5 V7 S现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
$ x9 q7 g; ]0 a. v- A; \4 N
6 L, t5 F9 r. \
情况一：  
% S! ^! ^: ?  X( V: ~! M8 `此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。
% t9 c2 m$ @4 h4 N9 S+ }
, S* h. `6 E+ L% B0 u: {情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。

0 @8 z2 r  U3 z情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

1 _  T; t$ H$ J! |6 [  {5 l现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

# z2 h, O7 f  A' w# t由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

# c9 x* N* p0 x. j  O6 T0 u如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。
" B  d/ z, t+ @' U
0 L! Y8 a- e  s
. W7 H* |& ]: h/ G3 \情况一：  
/ n, d0 }, \9 [8 C& V假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
1 B7 V' j4 Q( f2 T



. p( F# q5 [- Q7 I- q2 b/ Q

这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
: ^- \3 |6 I  Z/ m5 M
  M" M6 P* o( M) f  l情况二：  
令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式





) W- R, c. y5 ~/ ]  T
, q& H2 `) G3 f; C这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
+ o3 o1 S: T$ J6 v利用p+q=1，上组方程式可改写为
9 E( m$ R$ z" i+ {8 r+ M

/ i7 q& y( O4 c5 n, u- ?

' g- v9 O* y% i0 K9 b1 K/ U  s

* Q# Q0 ?+ B$ B& ]: ]. W0 F两边相加，并利用 、，得
0 R0 I/ i# z3 ~8 L- Z  f

; b: W% @& Q* S" X
* \0 r% Q1 C& }7 m
# g& p3 W2 g# _; z  Y

( \6 X7 x9 A% @* e9 J5 |( o! x若取前 c 项相加，则得
. l" u* u9 g3 l; ?- E- h
; j* Z# n; }2 V


  L' m: J( A% S- f6 G- j& p  c

# W- v1 _  T. Q0 m# Q5 c情况三：  
仿二之解法，可求得


8 {6 k- Q& q& t7 c6 C( }9 R( _1 e


0 M/ ]# B+ o# O, m0 [" t

9 g) T2 L' u9 L. f保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


6 S7 V! G  E5 `0 v4 m- I定理：
/ K8 |3 |4 Y6 p' b设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。
6 R3 g+ v( i; y
. R5 \7 \: V* f; k  P/ q  i# \现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。
/ x, L- i- A, y& F2 m
- x9 J- }5 N6 I首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
! T# l: a  ]- m
至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
- x3 {7 t( ]" c. h# u, Z' a

9 h9 W" ^6 r7 l0 t  b2 S& D+ X% ]
' _+ x$ L5 |1 w( z, W( }

& o6 Z: m& g' Z& ], {3 A
6 b# D* s& p* a  @

7 k7 @+ g  S' Y5 L/ `其中  为所下注之金额。利用
" n8 Q9 w- @2 v* o  T! V3 y
' f$ V6 u8 ?( R* x& i5 q! E+ E


# B3 `! O) P  T3 M3 c& K
% ?! u! \& J+ T* y7 n6 p7 C
' J' {1 _1 {$ r7 k( ?

可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但

7 D3 C# y2 q/ b1 S7 R+ r+ q7 \


) T5 a* m$ N% b, n' L9 D8 g- N

  P) J0 w9 p0 W* q

0 D* O8 D# h1 p6 F. _3 H因此可得在情况二， 时，


& J5 B7 ^5 |. o) w- c
/ X5 U  a0 y3 P0 r
/ U9 o! M5 I4 W
8 t. i% P* O1 m8 s

( c. T: B: s% M& n& H) f
4 w  `  @* O5 d2 U: _而在情况三， 时，


$ M) v' C- ?' o4 s
- k3 p9 n3 Q! Y) \! w/ Y




  U) l( o; F$ L# r0 d7 j但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

5 v) k4 t* J9 o9 W8 [/ C/ V附录

: T& R, }9 J0 x  m
在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为




* [7 [3 {. g7 O% H2 _

& X1 J$ a- d+ w' Z7 o5 e& }
$ n3 B0 Q5 h6 p/ L& y. ~* f9 Z
1 k6 ]% x9 u1 u5 A, F另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！