随机赛程的最佳策略

引言
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' Q. g2 Q  Z, D1 }3 ~4 m0 I在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。
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" w: v3 e2 W' t8 J2 x问题
& h; e# R, O9 Q+ @" S

有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。
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本文
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问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
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为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
6 d. j/ S3 z7 W( x" O5 C你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

, F* o- ]6 I' q( v$ h1 A; t& S++,
" G& a- w2 s6 C9 L+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
                                                                                                。
在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
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* S, a  \3 w4 }, p7 |
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现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
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++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
                                                                                。

! O) t4 z' e$ N* Z" M5 k- y3 o3 B仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
+ x7 y; G& j8 D+ z  L+ x
1 h) V! P4 w. U8 g0 C, N



& _! ^9 O  C' k# Q5 D0 B. y
" h, @: I- h. U, _# i+ {  w$ c- d, i
1 S: Q1 m2 r# u5 r1 d/ a3 N
" S. @% T; H8 U6 P: ]" e最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。

3 \2 z5 Y& ]6 F2 B/ K: o现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？
! S' R6 b4 O) f8 O
: D' T& X0 u9 k5 ~$ I# [+ Z! [现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。


情况一：  
) a: F6 Z# l5 f" D此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

. i- l, p" r  ~$ r: P1 a3 t情况二：  
此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
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6 {- ?7 f$ D. q8 B4 n$ {情况三：
! d; Z! j+ v  j此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

4 k! H4 T" @8 E6 _, }现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。
8 z5 ^) T  f* q8 l
1 h  p. x6 W8 ]% v0 s由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。

如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

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情况一：  
  u: G  E2 I1 M5 [7 ~" U8 h0 R" u假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此


6 j1 `# Z, F6 P* w% I! b
+ L8 ]* X9 ?1 D: t$ ?

/ |. ~7 t$ O9 c: b
这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。
/ `  X8 Q. s/ @9 J; f
情况二：  
# g( s1 f. |3 z8 o令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式

# f- @- R9 h& \# E
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; B- c' _  x5 K, V
( t& }  z: s1 t$ {* I

2 O# I8 V  y6 j/ B* g5 d1 }" c$ H& G7 C这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
利用p+q=1，上组方程式可改写为


& A: m% c' G1 W, `0 N5 z! y. x
) p( ~2 v- w( Y


两边相加，并利用 、，得
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/ c" K- L6 @1 d2 a8 n( z
: c6 }7 y. c8 M7 D. t

! d3 M6 R; K8 H/ @

8 P1 Y; W8 y) M  L: Z2 l若取前 c 项相加，则得

5 u2 A. L4 V* _; a8 A


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, E; @: h$ O5 j. d* x6 ~, ?1 ~
情况三：  
2 e6 ~  A4 Q  J仿二之解法，可求得
! O( ?% I6 F0 [: E5 g, Q; _




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* F: q$ H9 t( N+ o) t
- R; e5 {  Y2 T保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。
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# T% Y* R- Q- ]$ V4 A1 y9 n: S& v* E首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。
5 I6 d; r2 F" d$ K% |, _0 n

2 n1 a& v  {& Q定理：
$ a$ ]8 \. s# q$ t6 F设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

% C0 p$ f* x9 `  G6 y: n现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
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3 B3 E  p& d& ^. i; ]: o, j至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
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4 j* n; A: f; c5 x6 n. |



其中  为所下注之金额。利用


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4 U1 d- R" D; N5 q

- m- l- r8 o6 f! A( K
5 N: s* ^9 x& t! M

可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但


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9 y2 `$ L8 H+ n. N+ g9 o; F
, Y1 l2 P3 k- M" Z, J9 H2 v


3 G; O: ^' l0 K, E. r# A
因此可得在情况二， 时，
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4 B3 _# G$ j$ [9 Q4 L4 M( Q
! q  \/ K: N2 Y0 o" D( B+ k: q; I
  }! ], l% f6 }: Z


而在情况三， 时，
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# ]% d. Y" C9 W& a! @& B



但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。
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' B9 W6 A& M) L  L附录
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在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

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! V8 e/ ^; b8 W3 O; _% O7 h另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太深奥了！！！！！！！！！！

我也来学习下

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

好文章,学习了.

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。