随机赛程的最佳策略

引言

7 _, M0 m- s9 f- k/ p9 E在日常生活中的许多场合，像生意的投资、决策的推行等，我们往往无法事先确知其结果，但对其成败的机会，则往往可事先估计出。这种成败的机会，也即是我们通常所说的事情成败的机率，然而使事情成功的方法不一，所以如何选用一个方法，使其成功的机率最大，是一个很值得研究的问题。本文拟就此类问题中之某型问题作一探讨。为叙述方便，作者特考虑下面的数学模型，实际生活中的模型当较此复杂得多。不过笔者为文之目的，不单是提出一个结果供读者参考，而是希望能藉着本文介绍一些简单而又实用的数学方法，让读者能一窥这些方法在这类问题中是如何被使用的。

问题


7 u, i. }  S  d2 ^2 u( d有某甲持 c 元，拟与持 m 元的庄家赛局，并明定每局所下赌注至少为 1 元。设在每局中，某甲赢的机率恆为一常数 p (0<p<1)。并且我们假设只要某甲或庄家输尽，整个赛局即结束。那么某甲应如何在每局中下注，才会使他赢得庄家所有资本的机率达到最大值呢？

9 _: k8 ]. Y" K. C; Q2 x: s8 f9 X当然，我们假设下注的金额是合理的，比如说若某甲现已有 8 元，而庄家只有 2 元时，那么某甲最多只能下注2元。

2 r7 Z% H0 e- h: ~本文
0 M' g/ K' u" O! k! N
% }& S# Y" s" Q: |9 w% w/ [) T
8 C! j" P; {: Y# c问题的叙述虽很简单，但细思之下，却发现其并不很简单。这道理不难明白，因为可下注的方法实在太多了，要一一比较是不可能的。
! Q, H# H1 d5 v! d. u7 j  J5 q
为了要克服上面所说的困难，数学家首先考虑几种比较可能为人们採用的方法，这些方法所以较常採用，泰半是由于直觉上认为它们可被採行。当然，直觉的认定往往是不可靠的，所以最好能有理论支持。下面就介绍三种可能的方法，并比较其优劣。


( d/ C  ]+ h: m3 J方法一、每次甲均下赌注 1 元。（显然，这样的下注法最保守，我们称之为保守型下注法。）
方法二、首先甲下 1 元赌注。若他赢了，则下次仍下 1 元；若输了，则将赌注加倍，依此类推。换言之，往后只要一赢，他就下 1 元，否则就把下注金额加倍。当然，我们假设所下金额是合理的。（显然持这种下法的理由是因为只要一赢，那么非但所有输的金额即全捞回来，并且反多赢 1 元，我们姑且称之为输不起型下注法。）
方法三、只要许可，甲就将所有赌本下注，因此只要一轮，某甲就血本无归。（显然这种方法是最大胆的，我们就称之为极端型下注法。）
你会採用哪种方法呢？能说个道理出来吗？事实上，答案并不简单，它跟 p 究竟大于、等于或小于 1/2 有关，也即跟你是否比庄家强有关。我们就举 c=2 的例子来说明。为方便计，我们以「＋」表甲赢，以「－」表甲输，并以＋、－所形成之中列表示甲在整赛局输赢的顺序。

首先我们考虑保守型下注法，此时只有在下列诸场合，甲才会赢（即庄家赌本输光）。

* i6 N: F1 x7 L, g' |; f++,
+-++,-+++,
+-+-++,+-+++,-++-++,-+-+++,
: }3 ^! z6 m. I# p                                                                                                。
: q  V% ?3 `/ {0 y4 L$ a8 A在第一列 ＋＋ 中，甲连赢两次，此次机率为 。在第二列中，甲赢了三次，输了一次，并且有两种可能性，所以其机率为 （q 为输的机率，故 p+q=1）。依此推导可得在第 n 列中，甲赢了 n+1 次，而输了 n-1 次，并且有 2n-1 种可能性，所以其机率为 2n-1pn+1qn-1。因此可得在整个赛局中，甲赢的机率为
- }# v  ~* q) u& h
& e: h; }/ A' O7 K9 a' i6 Q
7 A- M1 b6 h) U, z8 k& ~: t

# }5 {% R1 a- D: [( K8 P6 h! o) |

% k1 Q2 N" o# H$ E1 y+ e


( D  C/ p8 r4 f3 L) m- f
现在让我们考虑输不起型下注法。此时只有在下列诸场合，甲才会赢。
# l& s% u& k) i! g4 }
++,+-+,
-+++,-++-+,（注意：甲第二次仅能下注 1 元）
0 Y6 _$ A+ p& o5 [-+-+++,-+-++-+,
                                 
, ,
6 @3 }9 x7 r# p- R# S                                                                                。
$ L8 x/ @1 i4 G" o& p  v
仿上之计算，可得此时甲赢的机率为
1 y' f' i  U9 s+ t" R
1 h& t" X# ]( v6 h" b) `" V


& h! I1 N1 f# y! S  H- t! O& s6 ?

: |' u3 o' K+ d- V4 ?
1 R. u( Y" a6 {6 s
+ m: @; f) M- k  }& v9 ], u最后设某甲採极端法，则甲第一次即下注2元，因此一次就决定了输赢，所以甲赢的机率为 p 。
' ^( F3 H$ `  }3 d- Y9 K
现在我们再回到原问题：究竟在这三种方法中，以那种方法最好？由于相对应赢的机率公式已求得，所以我们只需将 p 值代入，进而比较其大小即可，举例来说，当  时，三者之值皆为 ；而当  时，三者之值依序为 、、；至于当  时，则其值依序为 、、。这些数值告诉我们，当  时，三种下注法没影响甲赢的机会；当  时，则以保守法较好；当  时，却以极端法最佳，保守法最差。

这些结论，是不是有些出你意料呢？其实问题还没全部解决，迄今我们仅就保守、输不起、极端三型来作比较。是否尚有其他型的下注法会使得答案更好？还有，我们仅就特例来考虑，在一般的情形下，答案又是怎样呢？

现在，先把最一般性的结果写在下面，其中  代表当甲有 i 元时会赢的机率。
* h- e# x, _2 q- o- J. j

+ r, D* S* @* N7 N4 N" y" E! ]( C情况一：  
7 w5 N8 t$ l  F8 e1 K9 C0 v3 s) b此时不论甲如何下注， 恒等于 c/(m+c)。

情况二：  
) ]1 ?, C* F  h; d+ F6 j) ?7 W此时不论甲如何下注， ，而右端为保守型下注法赢的机率。因此，在此情况以保守型的下注法为最稳当。另一方面，极端下注法的赢面最低。
. M! d; Y- E; o$ b& [! R3 W7 j
情况三：
此时以极端法最佳，保守法最差。同样地，保守型下注法赢的机率为 。

现在我们就来研究，为什么会有这个结论！这用到了一些数学工具，不过对其中较复杂的部分，因顾及本文的可读性，笔者只很扼要的叙述一下。

3 F9 o$ j" v5 Y由于在上面的结论里，保守法处于一个居中的地位，所以我们先就此法进行讨论，然后再进一步研究整个问题。
# ?6 x( Y6 J. `) b# e) D) k
如同以前， 代表当甲所拥有的资本达 i 元时，他会赢的机率。由于甲及庄家的总资本额为 m+c 元，所以 i 之可能值为 i = 0, 1, …, m + c。显然地，，，而  为我们最早所想求得之机率。

9 M4 O; l5 S/ n0 ]' j
情况一：  
! Q: ~. p+ O) x' v假定某甲现有 i 元，那么有  的机会，他的资本会成为 i+1 或 i-1 元。因此
5 Y* a) Z3 n0 J$ S8 k1 Y( p* a
' [, t) _- ]+ E0 H, C4 n- {




) e; G3 F. ~8 r6 `7 B这样的函数 ν，在数学上是一个线性函数，因此解的通式为 。由于，、，得 a=0、 。因此 ，亦即甲的赢面为 c/(m+c)。

& a/ z/ A, H. t- v情况二：  
: t6 t# U2 J( D* H令 q=1-p。此时对 ν 我们有方程式


! D3 e( G8 k3 ?: i9 B: d


/ _- e/ S2 W: c: k3 w, |+ b" P
  G! P* Z6 _0 ?. t3 X这样的一组方程式，在数学上称作是差分方程式。它也有一个求解的一般方法，但其道理较深。为此之故，我们特採用下面的方法。
/ p  ?0 N+ T% d% O9 a) ^! a利用p+q=1，上组方程式可改写为
7 j7 `) o1 U* u6 f. g

" Y& L$ o2 p( }/ u
2 j. H; n/ `" _9 t0 ?. J% G1 k' G

0 N& }! h+ _# v% N7 n
- C2 n7 q2 v3 r9 {两边相加，并利用 、，得
/ F$ s1 g4 j$ F* ]

' W- V: e+ N& \% _2 s



- }; G( b) O; j若取前 c 项相加，则得
" e! @4 J9 y. G; `$ ~. x0 N5 b
1 p+ g7 l; S" y

" r) Y$ K# @" b6 J. Y+ _: D: y0 z


情况三：  
  }, s8 ]) ]5 M" _8 l仿二之解法，可求得

/ Q: M; _# e. `' q2 |! C  `6 ~

! v2 i* A$ \* v

) P" a. K- J2 a
" v. F- _7 `) B! B
保守法的  已求得，现在我们来研究为什么在情况二时，以保守下注法的  为最大；而在情况三时，反以保守下注法的  为最小；同时另一方面，在情况二时，则无论何种下注法， 皆一样。

首先我们引进一个定理。令 Sn 代表在第 n 次赛局时，甲所拥有之资本额，因此 Sn 是一个随机变数。我们并设 S0=c，即原资本。令 N 表结束赛局所需之时间，因此 SN=0 或 c+m。我们并以 E 表期望值。


2 @% `& u0 n9 e$ A定理：
; x, `# f$ u1 T, C! t8 j设 f 为一定义于 Sn 上之有界函数。若在 Sn 之条件下，f(Sn+1) 之期望值 E[f(Sn+1)] = f(Sn)，则 E[f(SN)] = f(S0) = f(c)。若将「=」改为「」，则结论亦真。
此定理在机率学上，即着名的选择样本定理 (optional sampling theorem)，它的证明已超过本刊程度，所以略去不证，但它的直观意义却不难了解。就拿「=」的情形来说，其实是说若你的第 n+1 次赛局，平均而言并不能改变在第 n 次赛局时 f 之值，则当整个赛局结束时，f 的平均值也与原先值一样。另一方面，若在「」的情况，亦即你的第 n+1 次赛局平均而言会改进 f 先前之值，则当赛局结束时，f 的平均值也曾比原先值为佳。

现在我们就拿这定理来证明先前我们所下之结论。

8 S8 A9 }/ s, m; @' S  |" k' l. o首先，我们考虑情况一。此时取 f(Sn)=Sn，则不论对何种下注法，因胜负机会均等， ，所以若给定 Sn，则 ESn+1 = Sn。因此由上定理知 ESN = c。但  = ，所以知不论以何种方法， 。
  j& a' n+ f. _
/ z/ F6 U7 T' f  y至于在情况二或三时，我们取 。此时若给定 Sn，则
' H! o9 H6 y' w0 o% D" Q. ~# t* X


6 l( v3 N- Z4 k( ~' w6 _% a

8 Y/ y$ U/ w% _- p% l2 m$ D
& V3 l& `, b# y9 m, ~& t5 s. d

' a; l3 x" u1 ^4 A8 S0 i其中  为所下注之金额。利用

' e, c) _& {8 d
, ~( ^' n& x- o7 p% i; S
6 v$ T; L% U8 |& p
9 D4 z2 w" O: |7 g! E
' f5 m  e( C: a  ^* r
; s0 h" o/ C& W# B2 v& }$ T: Z
3 ^* o' _8 T. b: T
可得不论以何种下注法下注，若给定 Sn，则 。所以由定理知 。但






8 J! v/ x8 o9 O) \( s
; W6 \: y. P5 G0 [$ i) e1 q
" E1 K2 ~4 h2 U" a9 E! l! T因此可得在情况二， 时，



/ H) r) v7 s. N2 a+ N

' P' f! h' I% }3 v. w

. s# ]8 S( r& Z7 C6 I6 X' y
5 n; X3 X& [" i6 c# E; f而在情况三， 时，
" \: c. L# [$ G1 o0 P) s1 V



' i9 W8 M* z: l6 i


) r/ k2 k; _6 R% G, b1 b3 p
* n+ \" Q% M! ~& }9 n但  为採用保守下注法时赢的机率，所以知在情况二时，以保守法的  为最大；但在情况三时，却以保守法的  为最小。

, E6 K. U9 z3 a* o* \至于为什么在情况二时，以极端法的赢面为最低；但在情况三时，却以极端法的赢面为最大。这其中又牵涉到更深的理论，只好从略了。

: d( g) {! I- I* Y, Y4 s附录

9 l; E; ^0 J0 U* V. ]
3 v8 `& e! g( U( R- k$ P在本文中，我们仅讨论如何使甲赢的机会为最大。但亦有一些其它有趣的问题，比如说，我们或者也想知道欲使整个赛局结束所需的时间的平均值 T（亦即期望值）。关于这个问题，我们有如下的答案：保守下注法的 T 为最大，其值当  时为 T=cm，当  时为

% e( i  m/ K, O' t
- t0 x) _. }+ h  o9 x
4 Q# F% {+ A' A2 A
6 l8 O6 ~3 M, N: G8 |- g7 k. a



7 K% o9 P) ~: x4 ]' Q" l( y另一方面，极端下注法的 T 为最小（但无统一公式）。至于其推导过程，与正文中所用的方法类似，只是演算步骤复杂多了，所以从略。

太长篇了，而且非常的深奥，希望有玩家能看的明白。

好文章,学习了.

又来看了,还是没有看明白,不知楼主有没有看懂了.

我也来学习下

太深奥了！！！！！！！！！！