/ Y: @1 u9 _" Z, o+ Y0 B 酒鬼失足 - s! g: C- M* T% S! R; D2 F# Z6 h1 p2 a7 {; T
重归酒鬼的问题。假如这个酒鬼是站在距离悬崖边1步的位置，我们可以想像成是有人故意把他带到这个位置，然后撒手不管他了这种情况，也可以看作是酒鬼当漫步到这个位置时，我们开始来考察他。接下来，这个酒鬼开始漫步！那么，问题来了，他掉下悬崖的概率是多少呢？为了让过程变得更加简明容易理解，当然是更容易考察，我们再假设酒鬼的随机漫步是在一维空间进行，即，只向靠近悬崖和远离悬崖方向行走，可以想像成一个既不能上、也不能下，也不能左行、也不能右行的封闭胡同里行走，一连是悬崖，一连是没有尽头的安全地带，哈哈。。。。科学需要假设，不要抬杠现实里有没有这样一条胡同，这里只是想把问题简化。 : H V. j3 G! e, K5 t- Z- h c+ Q7 Y$ u0 V
按照上面的简化，现在的问题变成了一维的空间。假设，悬崖所在的点为0（可以把这个一维空间看成是一条直线，也可以看成是平面坐标系的X轴原点位置），那么，是不是随机变量的值一旦达到0，酒鬼就掉下悬崖了？这里我来提个问题：设，酒鬼向右走（远离悬崖方向）的p概率为2/3，向左走（靠近悬崖方向）的概率1-p为1/3，那么，酒鬼从1所在的点做酒鬼漫游运动，他有多大的概率会掉下悬崖（别跟我说酒鬼向左向右走的概率都是1/2，我们现在是在假设）？ $ _9 T: T8 y6 Y# e) r4 h$ i7 j4 i9 ?) U) M
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哈哈。。。。这么简单的问题也拿来考我啊，这不侮辱我的智商吗？酒鬼从1的地方只要向左走1步就掉下去了，向左走的概率是1/3嘛，这不明显掉下悬崖的概率是1/3吗？/ w/ N. k6 c$ U
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好的，答案收到！如果你真的只是这样来考虑问题的话，我现在是真的想侮辱下你的智商了！答案果真如此吗？我承认，你的思维很正常，但这里的1/3是他头一步出脚方向的概率！如果我这样问，这个酒鬼第1步掉下悬崖的概率是多大？恭喜你，你答对了。但我没这么问好吧！这里的情况非常复杂的。比如，他第一步向右走，第二步又向右走，然后接着左行3步，掉下去没有？！这也就是说，即使酒鬼漫步到了3的地方，又或者离悬崖更远的位置，他仍然有掉下悬崖之可能，对不对？第一步掉下悬崖的概率为1/3，如果第一步没掉下去，我们就要加上第二步掉下悬崖的概率，当然第二步又没掉下去，我们还要加上第三步掉下悬崖的概率。。。。。这样，这个酒鬼掉下悬崖的概率无论如何，都是要大于1/3的！$ A$ l# T; d m/ u% j+ d
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设酒鬼从1的地方掉下悬崖的概率为P1，那么，这个概率就是我们要求解的答案，即酒鬼从1的地方漫步掉下悬崖的概率了。当然，P1也可以是酒鬼从任意位置k漫步到k-1位置的概率。（k-1）表示左移一步。值得注意的是，酒鬼走1步与位置移动1格的不同。酒鬼从k到k-1虽然只有1格，但实际走起来可能要很多步。再把2的地方漫步跃落悬崖的概率写作P12（因为酒鬼如果第1步没掉下悬崖而漫步到了2的地方），把从3的地方小叔跌落悬崖的概率记作P13。。。。。。把从n的地方小叔跌落悬崖的概率记作P1n。。。。。。不难得到如下等式：/ v2 P% ~8 K5 t) D
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P1=1-p+pP12 b* B$ f# r/ K8 t2 B
; i0 s2 _& S' @, g+ o3 D 由此可以解出P1=1，或者P1= (1-p)/p # Y2 ~9 M7 u& e8 u, ~% s9 ^7 }) @- y4 u+ W5 p
从上式不难看出，当p=1/2时，P1=1，我们知道，P1=1说明酒鬼就跃入悬崖了；当p小于1/2，P1>1（Pn的情形也是一样的），可以概率最大值只能是1了，p是酒鬼向右（就是朝悬崖反方向或者远离悬崖方向游走的概率）。所以，如果酒鬼朝远离悬崖的方向的概率小于1/2的话，无论他从哪个点开始游走，酒鬼最终是必然要掉下悬崖的。如果p=2/3，P1=1/2，Pn=(1/2)n！这里我们看到，n的值越大，即酒鬼初始点离悬崖越远，他掉进悬崖的可能性也就会越小！ 0 f N* v3 V5 L & M# R8 [6 ?8 @ |+ @- N) p 上面说的是无规行走在酒鬼失足上的具体应用。借着这个问题，我们还可以运用在赌徒破产问题上。赌徒破产问题也叫赌徒输光定理。为了简化问题，我直接引用一段百度百科现成的描述：“概率论所提供的有趣定理：在“公平”的DU博中，任一个拥有有限赌本的赌徒，只要长期赌下去，必然有一天会输光。在一次DU博中，任意一个赌徒都有可能会赢。谁输谁赢是偶然的。但只要一直赌下去，输光或者庄家破产跑路是必然的。”详细的论证过程我这里就省略了，大家可以搜一下答案，也可以参照上面的酒鬼失足问题，论证过程大同小异。 % A9 s# | W# U# N7 h; C9 A& A6 w% ~, Q. W( ~1 |8 c
赌徒破产 6 ?3 N1 j: ?: |4 [% m" [5 @
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概率问题的最初定向研究，缘于游戏。时至今日，概率学的研究已经相当深入，许多问题已经得到正确的解，例如无规行走。无规行走是一个数学模型，其应用范围非常之广，酒鬼漫步失足悬崖是肯定的，不管你如何来描述它都是如此。现在来说赌徒破产问题，这实质也是无规行走的一个例子。假定我们中间有这么一员（当然是赌徒了）在线上或是线下菠菜，赢的概率是p，输的概率就是（1-p），每次的赌注为1元，初始本金是n元，胜了注码加1元，输了注码减1元。现在的问题是，赌徒输光所有本金的概率是多少？这个问题就是无规行走，跟前面我们说的酒鬼失足问题可以看作是同一个数学模型。本金n相当于酒鬼离悬崖的位置，本金越大，离悬崖越远。掉下悬崖的地方，即是赌徒本金清光的时刻。答案也已经有了，即当赌徒胜率p=1/2时，我们是必然会输光本金的！3 m9 u( q9 K* v# O: W